אי-השוויון
עריכה
המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי מרחב מידה. עבור קבוע , לכל נהוג לסמן:
יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם (כלומר ).
אי-השוויון קובע שלכל המקיימים , לכל זוג פונקציות מדידות , מתקיים כי:
אם מתקיים בנוסף כי וכן גם , , אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם תלויות ליניארית במרחב , כלומר קיים כך שמתקיים כמעט תמיד ביחס ל- .
מקרים פרטיים חשובים
עריכה
ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:
עבור כאשר .
באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה:
כאשר וגם
כאשר מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ:
ולכן סה"כ
קישורים חיצוניים
עריכה