אקספוננט קריטי

אקספוננט קריטיים (או מעריכים קריטיים) הם מספרים המאפיינים מעברי פאזה מסדר שני (מעברי פאזה רציפים) במערכות תרמודינמיות. האקספוננטים הקריטיים מתארים באמצעות חוק חזקה את ההתנהגות של גדלים פיזיקליים שונים, כגון קיבול החום, המגנטיזציה ואורך הקורלציה, בסביבת הנקודה הקריטית. מעברי פאזה ואקספוננטים קריטיים מופיעים במערכות פיזיקליות רבות כגון מעבר נוזל-גז במים, מערכות מגנטיות, מוליכות-על, זרימה טורבולנטית, חלחול ועוד.

נהוג להניח כי אקספוננטים קריטיים הם אוניברסליים. כלומר, כי הם תלויים רק במאפיינים הכלליים של מערכת פיזיקלית, ולא תלויים בפרטים שמתארים את המערכת. לדוגמה, עבור מעברי פאזה במערכות פרומגנטיות, האקספוננטים הקריטיים תלויים רק בממדים של המערכת, בטווח של האינטראקציות בין חלקיקים במערכת ובספין של החלקיקים. נגיד כי שתי מערכות עם אותם מעריכים קריטיים שייכות לאותה מחלקת אוניברסליות. כלומר, כי המערכות שקולות ליד מעבר הפאזה.

תכונות אלו של אקספוננטים קריטיים נתמכות על ידי תוצאות נסיוניות. ניתן לחשב את האקספוננטים הקריטיים של מערכת באופן אנליטי באמצעות תורת השדה הממוצע או במקרים שבהם המערכת פתירה אנליטית, כגון מודל איזינג הדו-ממדי. ניתוח תאורטי במקרים רבים דורש להשתמש בגישה של חבורת הנרמול מחדש (renormalization group) או בשיטות של conformal bootsrap.

לאקספוננטים קריטיים יש בנוסף יישומים בגרפים אקראיים.

הגדרה פורמלית

הפרמטר הנשלט במעברי פאזה הוא לרוב הטמפרטורה, אך הוא יכול להיות גם פרמטרים אחרים כגון שדה מגנטי חיצוני ולחץ. לשם פשטות, נעבוד בדיון זה במונחי הטמפרטורה. ההמרה לפרמטר נשלט אחר היא פשוטה. נניח כי מעבר הפאזה מתרחש בטמפרטורה קריטית $T_{C}$. אנחנו רוצים לתאר את הפרמטר הפיזיקלי $f$ בסביבה של הטמפרטורה הקריטית באמצעות חוק חזקה. נגדיר את הטמפרטורה המצומצמת

$$\tau ={\frac {T-T_{C}}{T_{C}}}$$

שהיא אפס בטמפרטורה הקריטית. באמצעותה, נגדיר את האקספונט הקריטי $\kappa$:

$$\kappa =\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {\ln \left|f\left(\tau \right)\right|}{\ln \left|\tau \right|}}$$

מכך אנו מקבלים את חוק החזקה שחיפשנו:

$$f\left(\tau \right)\propto \left|\tau \right|^{\kappa },\quad \tau \approx 0$$

באופן כללי, האקספוננט הקריטי הוא לא בהכרח זהה עבור $\tau <0$ ועבור $\tau >0$. במקרה זה, נגדיר את האקספוננטים הקריטיים באמצעות הגבולות החד-צדדיים:

$$\kappa '=\lim _{\tau \rightarrow 0^{-}}{\frac {\ln \left|f\left(\tau \right)\right|}{\ln \left|\tau \right|}},\quad \kappa =\lim _{\tau \rightarrow 0^{+}}{\frac {\ln \left|f\left(\tau \right)\right|}{\ln \left|\tau \right|}}$$

יש לזכור כי חוק החזקה מתאר רק את ההתנהגות האסימפטוטית של הגודל הפיזיקלי ליד מעבר הפאזה, ולא מתאר אותו כתלות כללית.

אקספוננטים קריטיים חשובים

הגדרות

פרמטר פיזיקלי	הסבר
$\Psi$	פרמטר הסדר. לדוגמה, המגנטיזציה עבור נקודת קירי, ו${\frac {\rho -\rho _{C}}{\rho _{C}}}$ עבור מעבר בין נוזל לבין גז, כאשר $\rho$ הצפיפות. פרמטר הסדר מתאפס עבור טמפרטורות הגבוהות מהטמפרטורה הקריטית.
$\tau$	הפרמטר הנשלט (במקרה בו הפרמטר הנשלט הוא הטמפרטורה, הוא נתון על ידי ${\frac {T-T_{C}}{T_{C}}}$). הפרמטר מתאפס בנקודה הקריטית.
$f$	אנרגיה חופשית סגולית. ייתכנו מעברי פאזה שבהם הפוטנציאל התרמודינמי הרלוונטי לבעיה הוא פוטנציאל שאינו האנרגיה החופשית, כגון האנרגיה החופשית של גיבס.
$C$	קיבול חום כמוס. קיבול החום הכמוס נתון על ידי $C=-T{\frac {\partial ^{2}f}{\partial T^{2}}}$.
$J$	כוח מניע או שדה חיצוני. לדוגמה, הגודל ${\frac {P-P_{C}}{P_{C}}}$ עבור מעבר נוזל-גז, כש$P$ הלחץ ו$P_{C}$ הלחץ הקריטי ושדה מגנטי חיצוני עבור נקודת קירי.
$\chi$	ההיענות של המערכת לכוח המניע. עבור מעבר פרואלקטרי-פאראלקטרי, זוהי הסוספטביליות החשמלית. מוגדר על ידי $\chi ={\frac {d\Psi }{dJ}}$.
$\xi$	אורך קורלציה. גודל זה מתאר את המרחק האופייני שבו ישנה קורלציה בין המשתנים מיקרוסקופיים של המערכת.
$d$	מספר הממדים המרחביים של המערכת.
$\left\langle \psi \left({\vec {x}}\right),\psi \left({\vec {y}}\right)\right\rangle$	פונקציית הקורלציה. פונקציית הקורלציה מתארת כיצד המצבים המיקרוסקופיים במיקומים שונים מתואמים. הגודל $\psi$ מתאר את פונקציית הגל של המערכת.
$r$	מרחק מרחבי.

• האקספוננט הקריטי $\alpha$ מתאר את הקשר בין קיבול החום הסגולי לבין הטמפרטורה. כלומר, $C\propto \left|\tau \right|^{-\alpha }$. כאשר $\alpha$ הוא חיובי, ולכן קיבול החום מתבדר בטמפרטורה הקריטית. התבדרות זו היא הסיבה לקיום של החום כמוס.
• האקספוננט הקריטי $\beta$ מתאר את הקשר בין פרמטר הסדר לבין הטמפרטורה. בניגוד לשאר האקספוננטים הקריטיים, פרמטר הסדר מתאפס זהותית מעל הטמפרטורה הקריטית. לכן, עבור $\tau <0$, פרמטר הסדר נתון על ידי $\Psi \propto \left(-\tau \right)^{\beta }$, ועבור $\tau \geq 0$, $\Psi \equiv 0$. בניגוד לרוב האקספוננטים הקריטיים, אנו מניחים כי $\beta$ חיובי על מנת שפרמטר הסדר יהיה רציף.
• האקספוננט הקריטי $\gamma$ מתאר את הקשר בין ההיענות של המערכת לכוח המניע לבין הטמפרטורה. כלומר, $\chi \propto \left|\tau \right|^{-\gamma }$.
• האקספוננט הקריטי $\delta$ מקשר בין הכוח המניע לבין פרמטר הסדר בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור $\tau =0$ מתקיים $J\propto \Psi ^{\delta }$.
• האקספוננט הקריטי $\nu$ מקשר בין אורך הקורלציה לבין הטמפרטורה. כלומר, $\xi \propto \left|\tau \right|^{-\nu }$.
• האקספוננט הקריטי $\eta$ מקשר בין פונקציית הקורלציה לבין המרחק המרחבי בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור $\tau =0$ מתקיים $\left\langle \psi \left({\vec {0}}\right),\psi \left({\vec {r}}\right)\right\rangle \propto r^{-d+2-\eta }$.

אקספוננטים קריטיים בתורת השדה הממוצע

ערכי האקספוננטים הקריטיים בתורת לנדאו הקלאסית (שידועה גם כתורת השדה הממוצע) עם שדה סקלרי נתונים על ידי:

$$\alpha =0,\quad \beta ={\frac {1}{2}},\quad \gamma =1,\quad \delta =3$$

אם אנו מוסיפים איברי גזירה והופכים את התיאוריה לתורת גינזבורג-לנדאו, מתקבלים גם כן:

$$\nu ={\frac {1}{2}},\quad \eta =0$$

מימד קריטי עליון של תורת שדה ממוצע

האקספוננטים הקריטיים שמתקבלים באמצעות תורת השדה הממוצע נכונים עבור מימד שגדול מהמימד הקריטי העליון של מערכת. המימד הקריטי העליון עבור מעבר גז-נוזל הוא 4, עבור חלחול הוא 6, ועבור טורבלנטיות הוא ככל הנראה אינסופי. קרטיריון למציאת המימד הקריטי העליון של מערכת נוסחו בידי ויטאלי גינזבורג.

אקספוננטים קריטיים תחת הפרעות אקראיות

כאשר מודדים בניסוי את האקספוננטים הקריטיים, יש במערכת הפרעות אקראיות. כאשר מתחשבים בהשפעה של הפרעות אלו על המערכת, האקספוננטים הקריטיים המתקבלים מקיימים

$$0<\alpha <{\frac {2}{3}},\quad \beta ={\frac {1}{3}},\quad 1\leq \gamma <{\frac {5}{3}},\quad 3<\delta <6$$

הערך של $\beta$ והתחומים של $\alpha ,\gamma ,\delta$ מתאימים לתוצאות ניסיוניות.

אקספוננטים קריטיים במודל איזינג

מודל איזינג הוא מודל מתמטי במכניקה סטטיסטית, המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים. מעבר הפאזה הפרומגנטי של מודל איזינג מגדיר חבורת אוניברסליות חשובה המכילה מגוון של מעברי פאזה. מודל איזינג הדו-ממדי פתיר באופן אנליטי, והאקספוננטים הקריטיים עבורו נתונים על ידי:

$$\alpha =0,\quad \beta ={\frac {1}{8}},\quad \gamma ={\frac {7}{4}},\quad \delta =15,\quad \nu =1,\quad \eta ={\frac {1}{4}}$$

בשלושה ממדים, מודל איזינג אינו פתיר באופן אנליטי. ניתן להעריך את הערכים של האקספוננטים הקריטיים בו באמצעות שיטות נומרית. האקספוננטים הקריטיים עבור מודל זה נתונים על ידי:

$$\alpha =0,\quad \beta =0.32653(10),\quad \gamma =1.2373(2),\quad \delta =4.7893(8),\quad \nu =0.63012(16),\quad \eta =0.03639(15)$$

המימד הקריטי העליון של מודל איזינג הוא 4, ולכן עבור ממדים יותר גבוהים האקספוננטים הקריטיים של מודל איזינג מזדהים עם האקספוננטים של תורת השדה הממוצע.

יחסי סקיילינג (Scaling Relations)

חוקי סקיילינג הם ביטוי של עקרונות פיזיקליים באמצעות שפה של פונקציות הומוגוניות. דוגמה חשובה לחוקי סקיילינג בתרמודינמיקה הם גדלים אקסטנסיביים ואינטנסיביים. אם מגדילים מערכת תרמודינמית בפקטור $\lambda$ בלי לשנות את הגדלים האינטנסיביים שלה, אז כל הגדלים האקסטנסיביים, כגון האנרגיה $E$, האנטרופיה $S$, הנפח $V$ ומספר החלקיקים $N$ גדלים בפקטור $\lambda$. כלומר, הפונקציה $S\left(E,V,N,\dots \right)$ היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון. זהו חוק סקיילינג.

קרוב מספיק לנקודה הקריטית, אנו יכולים להגדיר משתנים תרמודינמיים חדשים המאפיינים את המערכת והם אינווריאנטיים לשינוי בסקאלה. את משתנים אלו ניתן להגדיר באמצעות האקספוננטים הקריטיים המגדירים חוקי חזקה בין המשתנים התרמודינמיים השונים. אלו הם למעשה חוקי סקיילינג. באמצעות חוקי הסקיילינג, ניתן למצוא קשרים בין האקספוננטים הקריטיים השונים.

יחסי סקיילינג (Scaling Relations)

האקספוננטים השונים מצייתים ליחסי סקיילינג. יחסי הסקיילינג מגדירים תלות פרמטרית בין האקספוננטים השונים. יחסי הסקיילינג הם:

$${\begin{matrix}\gamma =\beta \left(\delta -1\right)\\\alpha +2\beta +\gamma =2\\\left(2-\eta \right)\nu =\gamma \\\nu -\eta =2-\alpha =\gamma +2\beta \\d\nu =2-\alpha =\gamma +2\beta \\2-\eta =d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{matrix}}$$

ניתן לראות מיחסים אלו כי ניתן לבטא את כל האקספוננטים הקריטיים באמצעות שני אקספוננטים קריטיים בלתי-תלויים.

פיתוח יחסי הסקיילינג

לצורך הדיון, נפתח יחס סקיילינג יחיד עבור המקרה של נקודת קירי. ניתן לפתח את יחסי הסקיילינג האחרים באמצעות עקרונות דומים.

לצורך הדיון, נתבונן על ההתנהגות הקריטית בנקודת קירי. עבור מעברי פאזה אחרים, הפיתוח הוא דומה. ליד נקודת קירי, השדה המגנטי $H$ נתון על כפונקציה של המגנטיזציה $M$ והטמפרטורה המצומצמת $\tau$ על ידי הקשר

$$H=M\left|M\right|^{\delta -1}j\left({\frac {M}{\left|\tau \right|^{\beta }}}\right)$$

כאשר $j\left(x\right)$ היא פונקציה הומוגנית. עבור $\tau <0$ ו$H=0$, נקבל מהמשוואה את הקשר $M\propto \left(-\tau \right)^{\beta }$. בנוסף, עבור $\tau =0$ נקבל את הקשר $H\propto \left|M\right|^{\delta }$. מכאן נזהה את $\beta$ ו$\delta$ כאקספוננטים הקריטיים שהגדרנו.

הסוספטביליות מוגדרת על ידי $\chi =\left({\frac {\partial M}{\partial H}}\right)_{\tau }$. מאחר ש$M$ ו$H$ הן פונקציות מצב, ניתן לרשום

$$\chi ^{-1}=\left({\frac {\partial H}{\partial M}}\right)_{\tau }=\delta M\left|M\right|^{\delta -2}j\left({\frac {M}{\left|\tau \right|^{\beta }}}\right)+M\left|M\right|^{\delta -1}\left|\tau \right|^{-\beta }j'\left({\frac {M}{\left|\tau \right|^{\beta }}}\right)$$

אם נדרוש כי $H=0$, וניזכר כי $M\propto \left(-\tau \right)^{\beta }$, נקבל מהמשוואה לעיל כי $\chi \propto \left|\tau \right|^{-\beta \left(\delta -1\right)}$. לפי הגדרת האקספוננט הקריטי $\gamma$, $\chi \propto \left|\tau \right|^{-\gamma }$. מכך נובע יחס הסקיילינג $\gamma =\beta \left(\delta -1\right)$.

אקספוננטים קריטיים דינמיים

האקספוננטים הקריטיים שדנו בהם עד כה עסקו בגדלים בשיווי משקל תרמודינמי. אולם, בנקודה הקריטית יכולה להיות גם התנהגות קריטית של התכונות הדינמיות של המערכת. לדוגמה, הזמן האופייני של דעיכת הפרעות אקראיות במערכת $\tau _{\mathrm {char} }$ מציית ליד הנקודה הקריטית לחוק החזקה $\tau _{\mathrm {char} }\propto \left|\tau \right|^{-\nu z}$. ניתן להרחיב את חבורות האוניברסליות הסטטיות כך שהן יכללו גם את האקספוננטים הקריטיים הדינמיים.

עבור חבורת האוניברסליות של מודל איזינג בשלושה ממדים, הערך של האקספוננט הקריטי הדינאמי הוא $z=2.0245(15)$.