אריתמטיקה של גבולות סופיים
עריכה
תהיינה
f
{\displaystyle f\,}
ו-
g
{\displaystyle g\,}
פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
שעבורן קיימים הגבולות הסופיים
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}
ו-
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)}
.
בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:
הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:
lim
x
→
x
0
(
f
+
g
)
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
+
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)+\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)}
כלל המכפלה
עריכה
הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
⋅
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)}
אם נבחר בפונקציה
g
(
x
)
=
α
{\displaystyle \ g(x)=\alpha }
, קבוע, יתקבל המקרה הפרטי
lim
x
→
x
0
α
⋅
f
(
x
)
=
α
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\alpha \cdot f(x)=\alpha \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}
. בפרט
lim
x
→
x
0
(
−
f
(
x
)
)
=
−
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(-f(x))=-\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}
ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.
הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש:
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)\neq 0}
, כלומר:
lim
x
→
x
0
(
f
g
)
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)}}}
כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר
x
→
±
∞
{\displaystyle \,x\rightarrow \pm \infty }
.
אריתמטיקה של גבולות אינסופיים
עריכה
תהיינה
f
{\displaystyle f\,}
ו-
g
{\displaystyle g\,}
פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
שעבורן מתקיים:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty }
.
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=L}
, כאשר
L
∈
R
{\displaystyle L\in \mathbb {R} }
(כלומר מספר סופי).
בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:
lim
x
→
x
0
(
f
+
g
)
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=+\infty }
.
lim
x
→
x
0
(
g
−
f
)
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(g-f)(x)=-\infty }
.
lim
x
→
x
0
(
g
f
)
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}({\frac {g}{f}})(x)=0}
.
כאשר
L
>
0
{\displaystyle \,L>0}
מתקיים:
lim
x
→
x
0
(
f
⋅
g
)
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=+\infty }
.
וכאשר
L
<
0
{\displaystyle \,L<0}
מתקיים:
lim
x
→
x
0
(
f
⋅
g
)
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=-\infty }
.
כאשר
L
=
0
{\displaystyle \,L=0}
לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול
lim
x
→
x
0
(
f
⋅
g
)
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)}
מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "
0
⋅
∞
{\displaystyle 0\cdot \infty }
" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל .
כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר
x
→
±
∞
{\displaystyle \,x\rightarrow \pm \infty }
.
תהי
f
{\displaystyle f\,}
פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
שעבורה מתקיים:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0}
.
קיימת סביבה מנוקבת של
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
בה מתקיים
f
(
x
)
>
0
{\displaystyle f(x)>0\,}
.
בתנאים אלו מתקיים:
lim
x
→
x
0
(
1
f
)
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}({\frac {1}{f}})(x)=+\infty }
.
הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
בה מתקיים
f
(
x
)
<
0
{\displaystyle f(x)<0\,}
ובמקרה הזה הגבול הוא
−
∞
{\displaystyle -\infty }
.
תהיינה
f
{\displaystyle f\,}
ו-
g
{\displaystyle g\,}
פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
שעבורן מתקיים:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty }
.
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=+\infty }
.
בתנאים אלו מתקיים :
lim
x
→
x
0
(
f
⋅
g
)
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=+\infty }
.
גם כלל זה תקף כאשר
x
→
±
∞
{\displaystyle \,x\rightarrow \pm \infty }
.
גבול של הרכבת פונקציות
עריכה
הוכחת כלל הסכום
עריכה
נסמן ב-
A
{\displaystyle \,A}
וב-
B
{\displaystyle \,B}
את הגבולות של
f
{\displaystyle \,f}
ושל
g
{\displaystyle \,g}
בהתאמה.
יהי
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. יש להוכיח כי קיים
δ
>
0
{\displaystyle \ \delta >0\,}
כך שלכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \,}
מתקיים
|
(
f
±
g
)
(
x
)
−
(
A
±
B
)
|
<
ε
{\displaystyle |(f\pm g)(x)-(A\pm B)|<\varepsilon \,}
.
מהנתונים על הגבולות של
f
{\displaystyle f\,}
ו-
g
{\displaystyle g\,}
נסיק כי:
קיים
δ
1
>
0
{\displaystyle \delta _{1}>0\,}
כך שלכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
|
x
−
x
0
|
<
δ
1
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta _{1}\,}
מתקיים
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
2
{\displaystyle |f(x)-A|<{\frac {\varepsilon }{2}}\,}
(1).
קיים
δ
2
>
0
{\displaystyle \delta _{2}>0\,}
כך שלכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
|
x
−
x
0
|
<
δ
2
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta _{2}\,}
מתקיים
|
g
(
x
)
−
B
|
<
ε
2
{\displaystyle |g(x)-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}\,}
(2).
נבחר את
δ
{\displaystyle \delta \,}
להיות
δ
=
min
{
δ
1
,
δ
2
}
{\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\,}
. לפי אי-שוויון המשולש :
|
(
f
±
g
)
(
x
)
−
(
A
±
B
)
|
=
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
A
∓
B
|
≤
|
f
(
x
)
−
A
|
+
|
g
(
x
)
−
B
|
{\displaystyle |(f\pm g)(x)-(A\pm B)|=|f(x)\pm g(x)-A\mp B|\leq |f(x)-A|+|g(x)-B|}
.
מכאן ש-
|
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
−
(
A
±
B
)
|
≤
|
f
(
x
)
−
A
|
+
|
g
(
x
)
−
B
|
<
ε
2
+
ε
2
=
ε
{\displaystyle |(f(x)\pm g(x))-(A\pm B)|\leq |f(x)-A|+|g(x)-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
.
הוכחת כלל המכפלה
עריכה
יהי
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. יש להוכיח כי קיים
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
כך שלכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
0
<
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \,}
מתקיים
|
(
f
⋅
g
)
(
x
)
−
(
A
⋅
B
)
|
<
ε
{\displaystyle |(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|<\varepsilon \,}
. נגדיר
ε
1
=
min
{
1
,
ε
1
+
|
A
|
+
|
B
|
}
{\displaystyle \,\varepsilon _{1}=\min \left\{1,{\frac {\varepsilon }{1+|A|+|B|}}\right\}}
.
מהנתונים על הגבולות של
f
{\displaystyle f\,}
ו-
g
{\displaystyle g\,}
נסיק כי:
קיים
δ
1
>
0
{\displaystyle \delta _{1}>0\,}
כך שלכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
0
<
|
x
−
x
0
|
<
δ
1
{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{1}\,}
מתקיים
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
1
{\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon _{1}}
קיים
δ
2
>
0
{\displaystyle \delta _{2}>0\,}
כך שלכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
0
<
|
x
−
x
0
|
<
δ
2
{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,}
מתקיים
|
g
(
x
)
−
B
|
<
ε
1
{\displaystyle |g(x)-B|<\varepsilon _{1}}
נבחר את
δ
{\displaystyle \delta \,}
להיות
δ
=
min
{
δ
1
,
δ
2
}
{\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\,}
. יהי
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
0
<
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \,}
. נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש , כי:
כלומר, הראינו שאם
x
{\displaystyle x\,}
מקיים
0
<
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \,}
אזי
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
A
B
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)g(x)-AB|<\varepsilon }
, ומכאן נובע כלל המכפלה.
הוכחת כלל ההרכבה
עריכה
נוכיח במקרה בו
g
{\displaystyle g\,}
רציפה.
יהי
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0\,}
. נתון ש-
g
{\displaystyle g}
רציפה בנקודה
y
0
{\displaystyle y_{0}\,}
, לכן קיים
δ
1
>
0
{\displaystyle \delta _{1}>0\,}
כך שלכל
y
{\displaystyle y}
המקיים
|
y
−
y
0
|
<
δ
1
{\displaystyle |y-y_{0}|<\delta _{1}\,}
(כולל
y
0
{\displaystyle y_{0}}
) מתקיים
|
g
(
y
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle |g(y)-L|<\varepsilon }
(1).
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
y
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}}
ולכן קיים
δ
2
>
0
{\displaystyle \delta _{2}>0\,}
כך שלכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
0
<
|
x
−
x
0
|
<
δ
2
{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,}
מתקיים
|
f
(
x
)
−
y
0
|
<
δ
1
{\displaystyle |f(x)-y_{0}|<\delta _{1}\,}
(2).
מ-(2) נסיק כי לכל
x
{\displaystyle x\,}
המקיים
0
<
|
x
−
x
0
|
<
δ
2
{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,}
מתקיים
|
f
(
x
)
−
y
0
|
<
δ
1
{\displaystyle |f(x)-y_{0}|<\delta _{1}\,}
ולכן עבור
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle \,y=f(x)}
נקבל מ-(1) כי
|
g
(
f
(
x
)
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle |g(f(x))-L|<\varepsilon }
, כנדרש.
במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש-
0
<
|
y
−
y
0
|
{\displaystyle 0<|y-y_{0}|}
, ולכן נבחר
|
x
−
x
0
|
{\displaystyle |x-x_{0}|}
קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו
0
<
|
f
(
x
)
−
y
0
|
{\displaystyle 0<|f(x)-y_{0}|}
כפי שרצינו.