בינום

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באלגברה אלמנטרית, בינוֹם הוא פולינום המורכב משני איברים או מונומים.

הגדרה

בינום הוא פולינום שהוא סכום של שני מונומים. בינום במשתנה יחיד נכתב בצורה

$ax^{m}-bx^{n}$

כאשר a ו-b הם מספרים, ו-m ו-n הם מספרים שלמים לא-שליליים ו-x הוא סמל שנקרא משתנה. בהקשר של פולינום לורן , בינום לורן, המכונה לעיתים קרובות בפשטות בינום, מוגדר באופן דומה, אך המעריכים m ו-n עשויים להיות שליליים.

באופן כללי יותר בינום הוא מהצורה

$a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}$

דוגמאות

$3x-2x^{2}$

$xy+yx^{2}$

$0.9x^{3}+\pi y^{2}$

$2x^{3}+7$

פעולות בבינומים פשוטים

• בינום מהצורה x² − y² ניתן לפירוק לגורמים כמכפלה של שני בינומים:

$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$.

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הכללית יותר:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{n-k}$.

במספרים מרוכבים הנוסחה ניתנת להרחבה ל-

$x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy)$.

• המכפלה של שני בינומים ליניאריים (ax + b) ו- (cx + d ) היא טרינום:

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$.

תחילתו של משולש פסקל

• בינום בחזקה ה-n-ית, המיוצג כ- (x + y)ⁿ ניתן להרחבה באמצעות משפט הבינום או לחלופין באמצעות משולש פסקל. דוגמה: הריבוע (x + y)² של הבינום (x + y) מקיים:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$.

המספרים (1, 2, 1) המופיעים כמקדמים בנוסחה זו הם המקדמים הבינומיים בשורה השנייה שמתחת לקודקוד במשולש פסקל. הפיתוח של החזקה ה-n-ית משתמש במספרים בשורה ה-n שמתחת לקודקוד במשולש פסקל.

• מימוש של הנוסחה דלעיל בה לידי ביטוי בנוסחה ליצירת שלשות פיתגוריות:

עבור m < n, יהי a = n² − m², b = 2mn, ו- c = n² + m²; ומתקיים a² + b² = c².

• בינומים שהם סכום של חזקות שלישיות ניתנים לפירוק לפולינומים ממעלה נמוכה יותר כדלקמן:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

ראו גם

• השלמה לריבוע
• הבינום של ניוטון
• התפלגות בינומית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בינום בוויקישיתוף

• בינום, באתר MathWorld (באנגלית)