הומולוגיה (מתמטיקה)

במתמטיקה, הומולוגיה היא סדרה של חבורות אבליות שאפשר להתאים לאובייקטים מסוימים. ההומולוגיה $H_{i}(X)$ של האובייקט X (כאשר i אינדקס שלם) מחושבת בדרך כלל מתוך קומפלקסי שרשרת $\ C(X)$ (זוהי למעשה הומולוגיה של קומפלקס שרשרת, $H_{i}(X):=H_{i}(C(X))$). בניית הקומפלקס $C(X)$ אינה קנונית, ועם זאת חבורות ההומולוגיה המתקבלות מן הקומפלקס תלויות אך ורק ב-X. בכך עוצמתה של הטכניקה הזו: האפשרות לבנות את קומפלקס השרשרת בדרכים שונות מאפשרת לחשב את חבורות ההומולוגיה, והיא גם מראה שההומולוגיה אינה תלויה בפרטי המבנה של X עצמו, אלא בתכונות "רכות" שלו.

חבורות הומולוגיה אפשר להגדיר עבור אובייקטים שלכאורה אין ביניהם קשר: מרחבים טופולוגיים, חבורות, קומפלקסי שרשרת וכדומה.

את מושג ההומולוגיה אפשר להעשיר על ידי הוספה של מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי $X$ וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר אלומת חבורות אבליות מעל $X$) $M$, ניתן להגדיר את ההומולוגיה $H_{i}(X,M)$ של $X$ עם מקדמים ב-$M$. באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה $\Gamma$ עם מקדמים בהצגה $M$ של $\Gamma$.

בדרך כלל אפשר להגדיר את ההומולוגיה כפונקטור הנגזר.

ראו גם

סוגים של הומולוגיות

• הומולוגיה של קומפלקס שרשרת
• הומולוגיה של מרחב טופולוגי
• הומולוגיה של חבורה
• הומולוגיה של אלומה

משגים קשורים

• אלגברה הומולוגית
• קוהומולוגיה
• פונקטור נגזר
• הומוטופיה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הומולוגיה בוויקישיתוף

• הומולוגיה, באתר MathWorld (באנגלית)
• הומולוגיה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• הומולוגיה, דף שער בספרייה הלאומית