החבורה הכיפלית של חוג

במתמטיקה, החבורה הכיפלית של שדה או באופן כללי יותר של חוג היא החבורה המורכבת מכל האיברים ההפיכים. פעולת החבורה היא מכפלה בחוג. העובדה שזו אכן חבורה היא חלק מהאקסיומות של חוג.

עבור שדה, החבורה מכילה את כל האיברים השונים מאפס, והיא חבורה חילופית. עבור שדה סופי, החבורה היא ציקלית.

הגדרות וסימונים

עבור שדה K מסמנים את החבורה הכפלית ב $K^{\times }$.

בנוסף, מסמנים ב $\mathbb {G} _{m}$ את הפונקטור מחוגים חילופיים (עם יחידה) לחבורות אבליות המעביר כל חוג לחבורה הכפלית שלו. ניתן לראות בפונקטור זה סכרמת חבורה. אם קובעים שדה בסיס ומצמצמים את הפונקטור לחוגים מעל שדה זה אז ניתן לראות בו גם חבורה אלגברית.

החבורה הכפלית כחבורה אלגברית

ניתן להגדיר את $\mathbb {G} _{m}$ כחבורה אלגברית באופן אלמנטרי יותר בתור אוסף הפתרונות של המשוואה $xy=1$ כאשר המכפלה מוגדרת על ידי $(x,y)\cdot (x',y')=(xx',yy')$. זוהי חבורה אלגברית רדוקטיבית וחילופית. היא אחת מאבני הבניין של חבורות אלגבריות, למרות שאיננה חבורה פשוטה. מעל שדה סגור אלגברית, כל חבורה רדוקטיבית איזוגנית למכפלה של חבורות פשוטות ומספר עותקים של החבורה הכפלית. חבורה שהיא צורה של חזקה של החבורה הכפלית נקראת טורוס.

דוגמאות

• החבורה הכיפלית של החוג הסופי $\mathbb {Z}$ היא חבורה מסדר 2 (מכילה רק את העברים $1$ ו- $-1$)
• החבורה הכיפלית של החוג הסופי $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ נקראת חבורת אוילר
• החבורה הכיפלית של שדה סופי היא תמיד ציקלית
• החבורה הכיפלית של $\mathbb {R}$ איננה קשירה. היא איזומורפית כחבורת לי למכפלה $\mathbb {R} \times S_{2}$. בבטוי האחרון $\mathbb {R}$ מתייחס לחבורה החיבורית של השדה $\mathbb {R}$. לאומת זאת, כחבורות אלגבריות (מעל השדה $\mathbb {R}$ כמו גם מעל כל חוג אחר) החבורה הכיפלית והחבורה החיבורית שונות מאוד זו מזו ואין אפילו מורפיזם לא טריוויאלי ביניהן. כמו כן $\mathbb {R} ^{\times }$ ו- $\mathbb {R} \times S_{2}$ איזומורפיות כיריעות נאש אך לא כחבורות נאש.
• החבורה הכיפלית של $\mathbb {C}$ קשירה אך איננה פשוטת קשר. הכיסוי האונברסלי שלה כחבורת לי (וגם כמרחב טופולוגי) איזומורפי לחבורה החיבורית של $\mathbb {C}$. באופן מפורש יותר מתקיים $\mathbb {C} /\mathbb {Z} \cong \mathbb {C} ^{\times }$. * עבור שדה המספרים ה-p-אדיים $F=\mathbb {Q} _{p}$ או באופן כללי יותר של שדה מקומי לא ארכימדי $F$ מתקיים:
  $$F^{\times }\cong Z\times {\mathcal {O}}^{\times }\cong Z\times k^{\times }\times {\mathcal {P}}\cong Z\times k^{\times }\times {\mathcal {O}}$$
  כאשר ${\mathcal {O}}$ הוא חוג השלמים של השדה, ${\mathcal {P}}$ הוא האידיאל המקסימלי של חוג זה ו-$k={\mathcal {O}}/{\mathcal {P}}$. הוא שדה השארית של $F$. תורת שדה המחלקה המקומית קושרת בין החבורה $F^{\times }$ לבין ההרחבות האבליות של השדה $F$.
• משפט הקיום והיחידות של הפרוק לגורמים ראשוניים גורר ש:
  $$\mathbb {Q} ^{\times }\cong \{1,-1\}\times \bigoplus _{\Pi }\mathbb {Z} .$$
  כאשר $\Pi$ היא קבוצת המספרים הראשוניים.
• החבורה הכיפלית של חוג האידאלים $\mathbb {A} _{K}$ של שדה גלובלי $K$ נקראת חבורת האידאלים ומסומנת ב-$\mathbb {I} _{K}$. תורת שדה המחלקה הגלובלית קושרת בין החבורה $\mathbb {I} /K^{\times }$ לבין ההרחבות האבליות של השדה $K$.

ראו גם

• חבורת אוילר
• טורוס (חבורה אלגברית)

לקריאה נוספת

• Chevalley, Claude (1958), Classification des groupes de Lie algébriques, Paris: Secrétariat Mathématique
• Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Springer-Verlag, Berlin, New York, ISBN 978-0-387-90108-4
• Milne, J. S., Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups
• Springer, Tonny A. (1998), Linear algebraic groups, Progress in Mathematics, vol. 9 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7
• Waterhouse, William C. (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90421-4