הטופולוגיה הקו-סופית

בטופולוגיה, הטופולוגיה הקו-סופית (או טופולוגיית המשלימים הסופיים; באנגלית: Cofinite topology) מוגדרת על קבוצה $X$, כך שנוצר מרחב טופולוגי שבו הקבוצות הפתוחות הן הקבוצה הריקה וכל הקבוצות שמשלימותיהן סופיות. מכך נובע שהקבוצות הסגורות הן בדיוק הקבוצות הסופיות והמרחב עצמו.

פורמלית, ניתן להגדיר את הטופולוגיה כ:

${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing \ \lor \ |X\setminus A|<\infty \}$

טופולוגיית זריצקי על עקום אלגברי היא הטופולוגיה הקו-סופית על נקודות העקום.

תכונות

• כל תת-מרחב של הטופולוגיה הקו-סופית הוא גם קו-סופי.
• כל קבוצה פתוחה לא-ריקה במרחב, מכילה את כל המרחב פרט למספר סופי של נקודות. לכן:
  • המרחב קומפקטי וקומפקטי סדרתית.
  • כאשר קבוצת הבסיס $X$ היא אינסופית, כל שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות במרחב חותכות זו את זו, כלומר אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות זרות. לכן מרחב טופולוגי המורכב מקבוצה אינסופית $X$ וטופולוגיה קו-סופית אינו מרחב האוסדורף.
• הטופולוגיה הקו-סופית על מרחב $X$ היא הטופולוגיה הגסה ביותר על מרחב זה המקיימת את אקסיומת ההפרדה $T_{1}$.
  • יתרה מזאת, טופולוגיה על $X$ מקיימת את $T_{1}$ אם ורק אם היא מכילה את הטופולוגיה הקו-סופית.
• הטופולוגיה הקו-סופית על מרחב $X$ סופי היא הטופולוגיה הדיסקרטית (לכל $A\subseteq X$ מתקיים $|X\setminus A|\leq |X|<\infty$).

ראו גם

• הטופולוגיה הקו-מנייתית

קישורים חיצוניים

• הטופולוגיה הקו-סופית, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.