השתנות חסומה

השתנות חסומה היא תכונה של פונקציות ממשיות. עבור פונקציות במשתנה אחד, פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע $\ [a,b]$ היא כזו שהשינוי הכולל שלה על ציר ה-y הוא סופי, ולכן היא גם חסומה בקטע.

הגדרה

עבור פונקציה $\ f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ תהי $T$ חלוקה של הקטע בצורה הבאה:

$\ T:a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$

נגדיר את ההשתנות של $f$ לפי $T$ להיות:

$\ v(f,T)=\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|$

כעת נגדיר את ההשתנות הכללית של הפונקציה בקטע $[a,b]$ להיות:

$V_{a}^{b}(f)=\sup _{T}\{v(f,T)\}$

כאשר ההשתנות הכללית של $f$ בקטע היא ערך ממשי סופי, $f$ תיקרא "בעלת השתנות חסומה בקטע".

דוגמאות

• הפונקציה $\cos x$ היא בעלת השתנות חסומה בקטע $[0,\pi ]$ ומתקיים שם $\ V_{a}^{b}(\cos x)=2$.
• כל פונקציה מונוטונית היא בעלת השתנות חסומה ומתקיים $\ V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|$.
• כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה שכן במקרה כזה קיים קבוע $K$ כך ש-$V_{a}^{b}(f)\leq K(b-a)$.
• פונקציית דיריכלה היא פונקציה חסומה שאינה בעלת השתנות חסומה. לכל n טבעי אפשר לבחור חלוקה T שבה יש n+1 נקודות רציונליות ואי-רציונליות לסירוגין ולקבל $v(T)=n$.
• הפונקציה $x\sin(1/x)$ המוגדרת כאפס באפס היא פונקציה רציפה וחסומה בקטע $[0,1]$ שאינה בעלת השתנות חסומה. אפשר לבנות סדרת חלוקות $(T_{n})$ עם נקודות קרובות מספיק לאפס כך שהסדרה $v(T_{n})$ היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני המתבדר.

תכונות של פונקציות בעלות השתנות חסומה בקטע סגור

• צירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה הוא פונקציה בעלת השתנות חסומה.
• פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה חסומה: בהינתן נקודה $x\in [a,b]$, ניווכח כי בחלוקה של הקטע בנקודה אחת $T=\{a=x_{0}<x_{1}=x<x_{2}=b\}$, מתקבל כי$\ |f(x)|-|f(a)|\leq |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|=\sum _{i=1}^{2}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|\leq V_{a}^{b}(f)$

ולכן $\ |f(x)|\leq V_{a}^{b}(f)+|f(a)|$ לכל $\ x$ ב-$[a,b]$.

הכיוון ההפוך שגוי, כפי שמודגם בדוגמאות.

• פונקציה היא בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא הפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות: אם $\ f$ פונקציה בעלת השתנות חסומה, הפונקציות

$\ f_{1}(x)=V_{a}^{x}f$

$\ f_{2}(x)=V_{a}^{x}f-f(x)$

שתיהן פונקציות מונוטוניות לא יורדות, ומתקיים: $\ f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)$

כל הפרש בין פונקציות לא יורדות הוא בעלת השתנות חסומה כצירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה.

• לפונקציה בעלת השתנות חסומה קבוצה בת מנייה של נקודות אי-רציפות וכולן מהסוג הראשון. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.
• פונקציה בעלת השתנות חסומה גזירה כמעט בכל מקום והנגזרת שלה אינטגרבילית לבג. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.
• אם $f$ רציפה בהחלט מתקיים: $V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'|d\lambda$ (אינטגרל לבג לפי מידת לבג).

קישורים חיצוניים

• השתנות חסומה, באתר MathWorld (באנגלית)