התפלגות בינומית שלילית

בתורת ההסתברות, התפלגות בינומית שלילית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים לפני שמתרחשים מספר קבוע נתון מראש, r, של כישלונות. לדוגמה, אם נטיל מטבע שוב ושוב, נגדיר כישלון כעץ ונעצור כאשר נקבל עץ בפעם השלישית (אם סימנו מראש r=3 ), אז מספר ההצלחות (קבלת "פלי") שנראה יתפלג באופן בינומי שלילי. אם ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא p וההסתברות לכישלון היא (p‏-1) אז המספר האקראי של ההצלחות שנראה, X, יהיה בעל התפלגות בינומית שלילית עם הפרמטרים (r,p) ונסמן זאת כך:

התפלגות בינומית שלילית, הקו הכתום מייצג את התוחלת ושווה ל-10 בכל האיורים, הקו הירוק מראה את סטיית התקן

$X\ \sim \ {\text{NB}}(r,\,p)$

משתנה מקרי X מתפלג נקודתית:

$P_{X}(k)={r+k-1 \choose k}(p)^{k}(1-p)^{r}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots$

כאשר הביטוי בסוגריים הוא המקדם הבינומי ושווה ל:

${r+k-1 \choose k}={\frac {(r+k-1)!}{k!\,(r-1)!}}$

תוחלת של משתנה מקרי בינומי שלילי היא ${\frac {r}{p}}$ והשונות ${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$

התפלגויות קשורות

	עם החזרה	בלי החזרה
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות	התפלגות בינומית	התפלגות היפרגאומטרית
מספר הוצאות עד מספר הצלחות	התפלגות בינומית שלילית	התפלגות היפרגאומטרית שלילית

קישורים חיצוניים

• התפלגות בינומית שלילית, באתר MathWorld (באנגלית)