התפלגות כי בריבוע (
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
כ ' רפה, לעיתים נכתב חי בריבוע) היא התפלגות בעלת חשיבות רבה בסטטיסטיקה . חשיבותה העיקרית בהסקה סטטיסטית נובעת מהעובדה שתחת הנחות סבירות, גדלים הניתנים לחישוב באופן פשוט מתפלגים בקירוב בהתאם להתפלגות זו תחת השערת האפס . בין היתר, ההתפלגות משמשת כבסיס למבחן כי בריבוע . השם "כי בריבוע" מקורו באות היוונית
χ
{\displaystyle \chi }
כי .
התפלגות כי בריבוע
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים
k
∈
N
>
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{>0}~~}
דרגות חופש ")
תומך
x
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0,+\infty )}
פונקציית צפיפות הסתברות
1
2
k
2
Γ
(
k
2
)
x
k
2
−
1
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}
פונקציית ההסתברות המצטברת
1
−
1
Γ
(
k
2
)
γ
(
k
2
,
x
2
)
{\displaystyle 1-{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\tfrac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}
תוחלת
k
{\displaystyle k}
סטיית תקן
2
k
{\displaystyle {\sqrt {2k}}}
חציון
≈
k
(
1
−
2
9
k
)
3
{\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}
ערך שכיח
max
(
k
−
2
,
0
)
{\displaystyle \max(k-2,0)}
שונות
2
k
{\displaystyle 2k}
אנטרופיה
k
2
+
ln
(
2
Γ
(
k
2
)
)
+
(
1
−
k
2
)
ψ
(
k
2
)
(nats)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\tfrac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\tfrac {k}{2}})\psi ({\tfrac {k}{2}})\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}}
פונקציה יוצרת מומנטים
(
1
−
2
t
)
−
k
2
for
t
<
1
2
{\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}}
פונקציה אופיינית
(
1
−
2
i
t
)
−
k
2
{\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}
צידוד
8
/
k
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}
גבנוניות
12
k
{\displaystyle {\frac {12}{k}}}
קשר להתפלגויות אחרות
עריכה
בהינתן
k
{\displaystyle k}
משתנים מקריים
Z
1
,
…
,
Z
k
{\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}
בלתי תלויים , שלכולם התפלגות נורמלית סטנדרטית (כלומר: התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1), המשתנה
Y
=
Z
1
2
+
⋯
+
Z
k
2
{\displaystyle Y=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}}
מתפלג כי בריבוע עם
k
{\displaystyle k}
דרגות חופש .
התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא , עם פרמטר צורה
α
=
k
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {k}{2}}}
λ
=
1
2
{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}}
קישורים חיצוניים
עריכה
