חבורה חופשית

חבורה חופשית היא חבורה שקבוצת היוצרים שלה $X$ אינה מקיימת אף יחס. בחבורה כזו כל איבר הוא מילה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים $x,x^{-1}$ עבור $x\in X$, ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה $xx^{-1}$ או $x^{-1}x$. הכפל בחבורה מוגדר על ידי הדבקת שתי המילים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב-$\langle X\rangle$. ראו גם מונואיד חופשי.

בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על ידי מילה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט לבעיית המילה ובעיית הצמידות.

אם שתי קבוצות $X$ ו-$Y$ הן בעלות אותה עוצמה, אז החבורות $\langle X\rangle$ ו-$\langle Y\rangle$ איזומורפיות זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל $n$ מקובל לסמן ב-$\mathbb {F} _{n}$. מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא הדרגה של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית $F$ מסמנים ב-$rank(F)$. כך למשל $rank(\mathbb {F} _{n})=n$.

הראשון להגדיר חבורה חופשית (נוצרת סופית) היה Walther von Dyck, ב-1882, שביקש לתת תיאור אלגברי מדויק למושג הפעולה הגאומטרית של חבורה על המרחב. הוא הראה שכל חבורה נוצרת סופית היא מנה של חבורה חופשית. המשפט המשמעותי הראשון בתחום הנקרא היום תורת החבורות הקומבינטורית הוא משפט נילסן-שרייר, הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה מאינדקס סופי תמיד גדולה מזו של החבורה: אם $F$ חופשית ו-$H\leq F$ תת-חבורה מאינדקס סופי, אז $[F:H]={\frac {rank(H)-1}{rank(F)-1}}$. אם $F$ חבורה חופשית נוצרת סופית, אז לכל אנדומורפיזם $\sigma :F\rightarrow F$, תת-החבורה הקבועה $F^{\sigma }=\{x\in F:\sigma (x)=x\}$ היא נוצרת סופית. אם $\sigma$ אוטומורפיזם, הדרגה של $F^{\sigma }$ אינה עולה על זו של $F$. החיתוך של שתי תת-חבורות נוצרות סופית של $F$ הוא תת-חבורה נוצרת סופית.

חבורה חופשית היא אובייקט חופשי בקטגוריה של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית $F$ עם קבוצת יוצרים $X$ מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת אוניברסליות: לכל חבורה $G$ ופונקציה $f:X\rightarrow G$ קיים הומומורפיזם יחיד $\psi :F\rightarrow G$ המקיים $\psi \circ \phi =f$, כאשר $\phi :X\rightarrow F$ הוא השיכון של $X$ ב-$F$. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה $G$ הנוצרת על ידי הקבוצה $X$, קיים אפימורפיזם $\langle X\rangle \rightarrow G$, ובמילים אחרות כל חבורה אפשר להציג כחבורת מנה של חבורה חופשית. אם $G\cong F/N$ כאשר $F=\langle X\rangle$ חופשית, אז $N=\langle R\rangle$ חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, איברי $R$, נקראים יחסים של $G$. המנה $\langle X\rangle /\langle R\rangle$ מסומנת ב-$\langle X|R\rangle$ ונקראת הצגה של $G$ על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ-representation).

חבורת האוטומורפיזמים

חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית נוצרת על ידי פעולות טבעיות על היוצרים, מן הצורה $x_{i}\mapsto x_{i}x_{j}$, והיחסים בין היוצרים האלה מוכרים וידועים. מחבורת האוטומורפיזמים החיצונית $\operatorname {Out} (\mathbb {F} _{n})=\operatorname {Aut} (\mathbb {F} _{n})/\operatorname {Inn} (\mathbb {F} _{n})$ יש הטלה טבעית על החבורה הליניארית $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$, המוגדרת על ידי ההטלה $\mathbb {F} _{n}\rightarrow \mathbb {Z} ^{n}$. כאשר $n=2$, חבורת האוטומורפיזמים החיצונית איזומורפית ל-$\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )$ (Nielsen, 1917).

תורה מסדר ראשון

ב-1945 שיער אלפרד טרסקי שלכל החבורות החופשיות עם יותר מיוצר אחד יש אותה תורה מסדר ראשון. כלומר בדיוק אותם משפטים מסדר ראשון נכונים בכל חבורה חופשית מלבד $\mathbb {Z}$ (שהיא החבורה החופשית היחידה שהיא אבלית). ההשערה הוכחה באופן בלתי תלוי על ידי צליל סלע ועל ידי Kharlampovich ו-Myasnikov, שבנוסף הוכיחו שתורה זו כריעה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חבורה חופשית בוויקישיתוף