חבורה פרו-סופית

חבורה פרו-סופית היא חבורה טופולוגית, בדרך כלל אינסופית, הבנויה מאבני בניין סופיות בדרך של גבול טופולוגי. חבורה פרו-סופית מאופיינת בכך שהיא קומפקטית (האוסדורף), ובלתי-קשירה לחלוטין. חבורת גלואה של כל הרחבת שדות היא פרו-סופית. כל חבורה פרו-סופית היא חבורה סופית-שאריתית (residually finite).

הגדרות

ההגדרות הבאות שקולות זו לזו:

1. חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא גבול הפוך של מערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות (המצוידות בטופולוגיה הדיסקרטית).
2. חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא בעלת תכונת האוסדורף, קומפקטית ובלתי-קשירה לחלוטין.
3. חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא חבורת גלואה של הרחבת שדות כלשהי.

שקילות ההגדרות

$2\Leftarrow 1$

גבול הפוך של מערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא תת-מרחב סגור של מרחב המכפלה שלהן. החבורות מצוידות בטופולוגיה הדיסקרטית, ולכן כל אחת מהן בלתי קשירה לחלוטין ובעלת תכונת האוסדורף. תכונות אלו עוברות למרחבי מכפלה, ובירושה לתת-מרחבים. מכאן שהגבול ההפוך הוא האוסדורף ובלתי-קשיר לחלוטין. בנוסף, כיוון שכל החבורות קומפקטיות (משום שהן סופיות), גם המכפלה שלהם קומפקטית (לפי משפט טיכונוף); תת-מרחב סגור של מרחב קומפקטי הוא קומפקטי בעצמו, ולכן הגבול ההפוך קומפקטי. מכאן שגבול הפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא האוסדורף, קומפקטי ובלתי-קשיר לחלוטין.

$3\Leftarrow 2$

תהי G חבורה טופולוגית בעלת תכונת האוסדורף, קומפקטית ובלתי-קשירה לחלוטין. נתבונן בקבוצת הפונקציות הרציונליות שמקדמיהן בשדה מסוים, וקבוצת המשתנים שלהן היא איחוד חבורות המנה של החבורה המקורית על-פי תת-החבורות הנורמליות והפתוחות שלה. החבורה המקורית פועלת על קבוצת פונקציות זו באופן טבעי, וניתן להתבונן בכל איבר שלה כאוטומורפיזם של קבוצת הפונקציות. בהתאם, ניתן להגדיר את החבורה המקורית כחבורת גלואה של הרחבת שדות - כאשר ההרחבה היא קבוצת הפונקציות, והשדה המקורי הוא שדה השבת של החבורה.

$1\Leftarrow 3$

חבורת גלואה מצוידת באופן טבעי בטופולוגית קרול (הקרויה על שם המתמטיקאי הגרמני וולפגנג קרול). טופולוגיה זו מוגדרת על ידי כך שאוסף חבורות גלואה ששדות השבת שלהן הם הרחבות נורמליות וסופיות של השדה המקורי מהווה בסיס מקומי של היחידה. כיוון שההרחבות סופיות, האינדקס שלהן בחבורה כולה סופי - ומכאן שחבורות המנה של החבורה המקורית מעליהן סופיות ודיסקרטיות. נקבע את יחס ההכלה בין ההרחבות כיחס סדר על חבורות המנה שלהן, ונקבל מערכת פרויקטיבית של מרחבים סופיים ודיסקרטיים. החבורה המקורית היא הגבול ההפוך במערכת.

דוגמאות

• כל חבורה סופית היא באופן טריוויאלי חבורה פרו-סופית, אם נציידה בטופולוגיה הדיסקרטית.
• כל חבורת גלואה המצוידת בטופולוגית קרול היא חבורה פרו-סופית. יתרה מכך, על ידי הסתמכות על טופולוגית קרול, ניתן להכליל את המשפט היסודי של תורת גלואה גם להרחבות ממימד אינסופי: ההתאמה המוגדרת במשפט נשמרת עבור תת-החבורות הסגורות של חבורת גלואה.
• חבורת פרופר היא חבורה פרו-סופית, ומוגדרת כגבול ההפוך במערכת הפרויקטיבית הבנויה על חבורות המנה $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, כאשר היחס ביניהן מוגדר באופן הבא: $n\geq m$ אם ורק אם $m|n$.
• לכל חבורה $G$ אפשר להגדיר את ההשלמה הפרו-סופית ${\widehat {G}}$ שהיא הגבול הפרויקטיבי של מערכת חבורות המנה הסופיות. אם חיתוך כל החבורות הנורמליות מאינדקס סופי ב-$G$ הוא טריוויאלי, אז ההעתקה $\phi :G\rightarrow {\widehat {G}}$ משכנת את $G$ כתת-חבורה צפופה ב-${\widehat {G}}$.

ההשלמה הפרו-סופית היא חבורה בעלת תכונה אוניברסלית - לכל חבורה פרו-סופית $G'$ והומומורפיזם $f:G\rightarrow G'$, אז יש הומומורפיזם $g:{\widehat {G}}\rightarrow G'$, כך ש-$g\circ \phi =f$

חבורה פרו-סופית G מקיימת את תכונת המניה השנייה אם ורק אם יש בה סדרה יורדת G_i של תת-חבורות נורמליות עם חיתוך טריוויאלי. בחבורה כזו אפשר להגדיר מטריקה: המרחק בין שני איברים הוא אחד חלקי הסדר של המנה האחרונה G/G_i שבה האיברים עדיין שווים. כל חבורה פרו-סופית נוצרת סופית מקיימת את תכונת המניה השנייה.

תת-חבורות

בקטגוריה של חבורות טופולוגיות, מורפיזמים הם כאלו השומרים על המבנה הטופולוגי, ולכן התמונה של מורפיזם היא תת-חבורה סגורה. בהתאם לכך, המונח "תת-חבורה" מתייחס בדרך כלל לתת-חבורה סגורה. כל תת-חבורה סגורה של חבורה פרו-סופית היא פרו-סופית, וכל חבורת מנה של חבורה פרו-סופית, ביחס לתת-חבורה נורמלית סגורה, היא חבורה פרו-סופית. גם המכפלה של חבורות פרו-סופיות היא פרו-סופית, והגבול ההפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות פרו-סופיות (אפילו אם אינן סופיות) הוא חבורה פרו-סופית.

משפט נילסן-שרייר קובע שתת-חבורה של חבורה חופשית היא חופשית. תכונה זו אינה נכונה במלואה עבור חבורות פרו-סופיות. עם זאת, תת-חבורה (סגורה) של חבורה פרו-סופית חופשית היא חופשית, אם היא פתוחה, ובאופן כללי יותר אם היא תת-חבורה אמיתית פתוחה של תת-חבורה (סגורה) כלשהי; אם היא מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים; ואם היא חיתוך אמיתי של שתי תת-חבורות נורמליות (סגורות) כלשהן.

לקריאה נוספת

• Luis Ribes, Introduction to Profinite Groups and Galois Cohomology. Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics, Vol. 24, Queen’s University, Kingston, ON, 1999.
• Michael D. Fried and Moshe Jarden, Field Arithmetic, 3rd Ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 11, Springer-Verlag, Berlin, 2005.