התמרת צ'ירנהאוס (או טרנספורמציית צ'ירנהאוס) היא התמרת פולינומים, אשר מתבצעת על פולינום אי-פריק ויכולה לפשט את הליך מציאת השורשים שלו על ידי פתירת פולינום מותמר פשוט יותר.

ההתמרה פותחה על ידי *ארנפרייד וולטר פון צ'ירנהאוס* בשנת 1683. ההתמרה ניתנת להגדרה במונחי *תורת השדות*

הגדרה עריכה

בהינתן פולינום $P(x)$ מעל שדה $K$ . בהינתן כי $P(x)$ פולינום אי פריק, אז חוג המנה של חוק הפולינומים $K[t]$ , המוגדר על ידי האידיאל הראשי של $P(x)$ : $K[t]/(P(x))=L$ הוא הרחבת השדה $K$ .

מכאן מתקיים: $L=K(\alpha )$ , כאשר $\alpha$ מייצג את $t$ מודולו $P(x)$ כלומר כל איבר של $L$ הוא פולינום במשנתה $\alpha$ , ומכאן ש- $\alpha$ איבר פרימיטיבי של $L$ .

ניתן גם לבחור $\beta$ , שורשים פרימיטיביים אחרים של $L$ ולכל בחירה $\beta$ , נשתמש בהגדרה: $\beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )$ , כאשר $F,G$ פולינומים עם מקדמים מהשדה $K$ . כעת נגדיר את $Q$ בתור הפולינום המינימלי של $\beta$ מעל $K$ . אז $Q$ הוא התמרת צ'ירנאהוס של $P$ .

נבחין כי בעצם ההתמרה של $P$ תלוייה בבחירת $F$ , המתנהג בתור "החלפת משתנה", וכי כל התמרות צ'ירנהאוס של $P$ הן כל הפולינומים שיחליפו את $P$ אבל ישאירו את $L$ בהגדרתו על פי הרחבת השדה $K$ .

דוגמאות עריכה

התמרה בעזרת פונקציה ליניארית עריכה

הדודגמא הפשוטה ביותר, והדבר הראשון שעושים על כל פולינום שאת שורשיו רוצים למצוא, הינו התמרה ליניארית, המדמה "הזזה" בציר ה- $x$ של הפונקציה. עבור הפולינום ממעלה $n$ , כלומר $P(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}$ , או אם נניח כי המקדם המוביל הוא 1 (אחרת אפשר לחלק את כל המקדמים באותו מקדם מוביל ולקבל אותו הדבר) $P(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ . מכאן נבצע את הטרנספורמציה $y=x+{\frac {a_{n-1}}{n}}$ , ובעזרת טור טיילור נקבל $P^{*}(y)=\sum _{i=k}^{n}b_{k}y^{k}$ , כאשר: $b_{k}={\frac {P^{(k)}(-{\frac {a_{n-1}}{n}})}{k!}}$ . נבחין כי $P^{n}(x)=n!$ ולכן $b_{n}=1$ , וכי $P^{n-1}(x)=n!*x-a_{n-1}*(n-1)!$ ולכן $b_{n-1}=0$ . כלומר ההתמרה הליניארית הנ"ל משאירה את המקדם המוביל 1 ומשמיטה את המקדם שלאחריו.

למשל עבור פונקציה ריבועית אם $P(x)=x^{2}+bx+c$ אז עם ההתמרה $y=x+{\frac {b}{2}}$ מתקבל הפולינום $P^{*}(y)=y^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4}}$ ששורשיו טריוויאליים $y_{1,2}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4c}}{2}}$ ומכאן השורשים של הפולינום המקורי הם $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}$ . זוהי נוסחאת השורשים כאשר המקדם הראשי הוא $a=1$ .

ישנן גם התמרות ליניאריות אחרות (למעשה כל הצבה של $y=ax+b$ תתן התמרה ליניארית אחרת לפולינום המקורי), אותן ניתן לחשב באופן דומה על ידי טורי טיילור.

עבור משוואה מעוקבת עריכה

המשוואה המעוקבת הכללית היא $P(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$ אבל לאחר התמרה ליניארית ניתן להניח כי $a_{2}=0$ , כלומר המשוואה היא $P(x)=x^{3}+px+q=0$ . כעת נבחר בהתמרת צ'ירנאהוס ריבועית על ידי ההצבה $F(x)=y=x^{2}+ax+b$ . ניתן לחשב את ההתמרה $P(y)=0$ בעזרת חישוב הרזולטנט של $P(x)$ עם $F(x)-y=x^{2}+ax+(b-y)$ , ומתקבל $P(y)=y^{3}+c_{2}y^{2}+C_{1}x+c_{0}=0$ כאשר כל $c_{i}$ הוא מקדם התלוי במשתנים $a,b,p,q$ . נרצה להביע את $a,b$ על ידי $p,q$ כך שהמקדמים $c_{2}=c_{1}=0$ . בחישוב של $c_{1},c_{2}$ יוצא $c_{2}=2p-3b,c_{1}=pa^{2}+3qa+3b^{2}-4pb+p^{2}$ , עבור $c_{2}=0$ נקבל $b={\frac {2p}{3}}$ , ועבור $c_{1}=0$ לאחר הצבה של $b$ נקבל משוואה ריבועית: $pa^{2}+3qa-{\frac {p^{2}}{3}}=0$ עם הפתרון $a={\frac {-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}{\frac {p}{3}}}$ , ונקבל כי $c_{0}=({\frac {4pq}{3}}+{\frac {9q^{3}}{p^{2}}})a-{\frac {8p^{3}}{27}}-2q^{2}={\frac {pa}{3}}(2a+{\frac {3q}{p}})^{3}$ , והמשוואה הסופית היא $P(y)=y^{3}+c_{0}=0$ שפתרונותיה הן $y_{k}=-{\sqrt[{3}]{c_{0}}}\omega _{3}^{k}=-(2a+{\frac {3q}{p}}){\sqrt[{3}]{\frac {pa}{3}}}\omega _{3}^{k}$ , כאשר $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ שורש היחידה מסדר 3. מכל פתרון $y_{k}$ ניתן לפתור משוואה ריבועית $x^{2}+ax+b-y_{k}=0$ אשר תביא 2 פתרונות, אחד מהם הוא $x_{k}$ שורש של $P(x)$ (והשני איננו שורש $P(x)=0$ , ניתן לבדוק על ידי הצבת הביטוי ובדיקה האם מתקבל 0). ניתן לראות כי התשובה תואמת את שיטת קרדאנו.

עבור משוואה ממעלה חמישית עריכה

המשוואה הכללית ממעלה חמישית היא $P(x)=x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$ אבל לאחר התמרה ליניארית ניתן להניח כי $a_{4}=0$ , כלומר המשוואה היא $P(x)=x^{5}+px^{3}+qx^{2}+rx+s=0$ . כעת נבחר בהתמרת צ'ירנאהוס ריבועית על ידי ההצבה $F(x)=y=x^{2}+ax+b$ . שוב ניתן לחשב את ההתמרה על ידי הרזולטנט של $P(y)=0$ עם $F(x)-y=x^{2}+ax+(b-y)$ . ומתקבל $P(y)=y^{5}+c_{4}y^{4}+c_{3}y^{3}+c_{2}y^{2}+C_{1}x+c_{0}=0$ כאשר כל $c_{i}$ הוא מקדם התלוי במשתנים $a,b,p,q,r,s$ . נרצה להביע את $a,b$ על ידי $p,q,r,s$ כך שהמקדמים $c_{4}=c_{3}=0$ . בחישוב של $c_{3},c_{4}$ יוצא $c_{4}=2p-5b,c_{1}=pa^{2}+3qa+10b^{2}-8pb+p^{2}+2r$ , עבור $c_{4}=0$ נקבל $b={\frac {2p}{5}}$ , ועבור $c_{1}=0$ לאחר הצבה של $b$ נקבל משוואה ריבועית: $pa^{2}+3qa+2r-{\frac {3p^{2}}{5}}=0$ עם הפתרון $a={\frac {-3q\pm {\sqrt {9q^{2}+{\frac {12p^{3}}{5}}-8pr}}}{2p}}$ , ואת אלו ניתן להציב בביטויים של $c_{2},c_{1},c_{0}$ במשוואה הסופית $P(y)=y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0$ . ניתן אף לפשט את הביטוי על ידי שימוש בהתמרת נוספת ממעלה 4: $z=y^{4}+\alpha y^{3}+\beta y^{2}+\gamma y+\delta$ , ובכך גם לאפס את המקדם $c_{2}$ (ולקבל את המשוואה $P(z)=z^{5}+c_{1}z+c_{0}=0$ ). אם $c_{1}=0$ ניתן לפתור את המשוואה על ידי שורש חמישי (ובכלל על ידי רדיקלים)- $z_{k}=-{\sqrt[{5}]{c_{0}}}*\omega _{5}^{k}$ . אחרת ניתן לפתור על ידי רדיקל ברינג (עד כדי כפל ב- $-{\sqrt[{4}]{c_{1}}}$ ), ובכלל במצב זה למשוואה אין פתרון על ידי רדיקלים (פרט למספר מקרים ידועים). לאחר מציאת $z_{k}$ ניתן לשחזר את $y_{k}$ ואת $x_{k}$ .