טיוטה:משפט גליבנקו-קנטלי (Glivenko–Cantelli)

בתורת ההסתברות, משפט גליבנקו-קנטלי (המכונה לפעמים המשפט היסודי של סטטיסטיקה ), על שם ולרי איבנוביץ' גליבנקו ופרנצ'סקו פאולו קנטלי, קובע את ההתנהגות האסימפטוטית של פונקציית ההתפלגות האמפירית כאשר מספר התצפיות הבלתי תלויות ושוות התפלגות גדל.

ההתכנסות במידה שווה של מידות אמפיריות באופן כללי היא תכונה חשובה של מחלקות גליבנקו-קנטלי של פונקציות או קבוצות.

מחלקות גליבנקו-קנטלי מופיעות בתורת Vapnik-Chervonenkis, עם יישומים ללמידת מכונה. ניתן למצוא יישומים באקונומטריה העושים שימוש באומדי M.

ניסוח פורמלי

נניח כי $X_{1},X_{2},\dots$ הם משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות ב-$\mathbb {R}$ עם פונקציית התפלגות מצטברת $F(x)$. פונקציית ההתפלגות האמפירית עבור $X_{1},\dots ,X_{n}$ מוגדרת על ידי

$F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{[X_{i},\infty )}(x)={\frac {1}{n}}\left|\left\{1\leq i\leq n|X_{i}\leq x\right\}\right|$

כאשר $I_{C}$ היא הפונקציה המציינת של הקבוצה $C$ . לכל קבוע $x$, $F_{n}(x)$ יוצר סדרת משתנים מקריים שמתכנסים ל-$F(x)$ כמעט תמיד לפי החוק החזק של המספרים הגדולים. גליבנקו וקאנטלי חיזקו תוצאה זו על ידי הוכחת התכנסות במידה שווה של $F_{n}$ ל-$F$ .

המשפט

$\|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|\longrightarrow 0$ כמעט תמיד.

מקור המשפט ב- Valery Glivenko ופרנצ'סקו Cantelli, משנת 1933.

הערות

• אם $X_{n}$ הוא תהליך ארגודי סטציונרי, אז $F_{n}(x)$ מתכנס כמעט תמיד ל $F(x)=E(1_{\{X_{1}\leq x\}})$ . משפט גליבנקו-קנטלי נותן התכנסות חזקה יותר במקרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות.

ראו גם

• משפט דונסקר
• אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ - מחזק את משפט גליבנקו-קנטלי על ידי קביעת קצב ההתכנסות.

הערות שוליים

קטגוריה:משפטים בסטטיסטיקה קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות