יריעה טורית

יריעה טורית היא יריעה אלגברית נורמלית המכילה טורוס אלגברי בתור קבוצה פתוחה צפופה, כך שפעולת הטורוס על עצמו מתרחבת לפעולה אלגברית של חבורה על היריעה.

יריעה טורית של חרוט

חרוטים

יהי $N=\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ סריג. חרוט $\sigma \subset N$ הוא תת-מונואיד רווי. זאת אומרת תת-קבוצה סגורה לחיבור המכילה את 0 ומקימת:

$$\forall k\in \mathbb {Z} _{>0},\forall x\in N.kx\in \sigma \Rightarrow x\in \sigma$$

החרוט הדואלי ל-$\sigma$ הוא החרוט$\sigma ^{\bot }$ המורכב מכל האיברים שהזווית בינם לכל איבר של $\sigma$ אינה קהה.

בניה של יריעה טורית לפי חרוט

נניח כי $\sigma \subset N$ הוא חרוט קמור בחזקה (אינו מכיל שום עותק של $\mathbb {Z}$). היריעה הטורית $U_{\sigma }$ המגיעה מן החרוט היא הספקטרום של חוג המונואיד של החרוט הדואלי ל-$\sigma$.

משפט: כל יריעה טורית אפינית מתקבלת בצורה כזו.

יריעה טורית של מניפה

מניפה היא אוסף חרוטים כך שהדופן של כל חרוט הוא חרוט באוסף והחיתוך של שני חרוטים הוא דופן של כל אחד מהם.

כאשר חרוט $\tau$ הוא דופן של חרוט $\sigma$, ניתן לזהות את היריעה $U_{\tau }$ כתת-קבוצה פתוחה של $U_{\sigma }$.

היריעה הטורית המגיעה מהמניפה היא איחוד היריעות המגיעות מכל אחד מהחרוטים באוסף, כאשר כל שתי יריעות מודבקות לאורך הקבוצה הפתוחה שמגיעה מהדופן המשותף לשני החרוטים.

משפט: בדרך זו ניתן לבנות את כל היריעות הטוריות.

ניתן להסיק תכונות מסוימות של היריעה הטורית מתוך המבנה הקומבינטורי של המניפה. למשל:

• היריעה היא חלקה אם ורק אם כל אחד מן החרוטים במניפה נוצר על ידי ווקטורים שמהווים חלק מבסיס לסריג.
• היריעה היא שלמה אם ורק אם המניפה מכסה את כל הסריג.
• היריעה היא פרויקטיבית אם ורק אם קיים פאון קמור שמכיל את 0 כך שכל אחד מחרוטי המניפה נוצר (כמונואיד רווי) מאחת מהפאות של הפאון.

לקריאה נוספת

• Fulton, William (1993), Introduction to toric varieties, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00049-7
• Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Hal, Toric varieties

קישורים חיצוניים

• יריעה טורית, באתר MathWorld (באנגלית)