מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

סימון

מטריצות סיבוב מכונה DCM (Direct Cosine Matrix) ונהוג לסמן באותיות: $M$ (קיצור של Matrix), $R$ (קיצור של Rotation) ו-$C$ (קיצור של Cosine).

נהוג לצרף סימן תחתון וסימן עליון המתאר את מערכות הצירים ביניהן מתבצע הסיבוב.

לדוגמה סיבוב ממערכת צירים $a$ למערכת צירי $b$: $C_{a}^{b}$

תכונות

תהי $M$ מטריצת סיבוב מסדר $\ n\times n$. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

• המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =M\mathbf {A} \cdot M\mathbf {B}$

• המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:

${M}\,{M}^{-1}={M}\,{M}^{\top }={I}$ כאשר ${I}$ היא מטריצת היחידה.

• ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A:

${\mathcal {M}}=\exp(\mathbf {A} )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{n}}{n!}}$

כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת $\mathbf {A} ^{n}$ נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד

סיבוב נגד כיוון השעון של וקטור בזווית θ. כאשר הווקטור היה מיושר בהתחלה עם ציר ה-x.

בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית $\theta$, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית $\theta$ היא:

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}$

כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:

$R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}$

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה $2\times 2$ אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:
${\begin{aligned}R(90^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}\\R(180^{\circ })&={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}\\R(270^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

תלת-ממד

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - $x$ בזווית $\phi$ היא:

${\mathcal {R}}_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\0&\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-\phi \\0&\phi &0\end{bmatrix}}\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - $y$ בזווית $\theta$ היא:

${\mathcal {R}}_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&0&\sin {\theta }\\0&1&0\\-\sin {\theta }&0&\cos {\theta }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&\theta \\0&0&0\\-\theta &0&0\end{bmatrix}}\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - $z$ בזווית $\psi$ היא:

${\mathcal {R}}_{z}(\psi )={\begin{bmatrix}\cos {\psi }&-\sin {\psi }&0\\\sin {\psi }&\cos {\psi }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-\psi &0\\\psi &0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right)$

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

• מטריצת סיבוב תלת־ממדית סביב שלושת הצירים בסדר z-y-x:

$$\mathbf {R} =R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}$$

זוויות אוילר

באמצעות שימוש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ניתן לחלץ ממטריצת הסיבוב את זוויות אוילר המיצגות את אותו סיבוב. למשל אם סדר הסיבוב יוגדר z-y-x, המטריצה R תוגדר כפי המצוין לעיל ואז זוויות אויילר יהיו:

• $\phi =atan2(R(2,1),R(1,1))$
• $\theta =arcsin(-R(3,1))$
• $\psi =atan2(R(3,2),R(3,3))$

ראו גם

• מטריצה אורתוגונלית
• זוויות אוילר
• מטריצות פאולי

קישורים חיצוניים

• מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)