משוואת קולברוק

משוואת קולברוק, באנגלית Colebrook, היא משוואה בהידראוליקה המשמשת לחישוב מקדם החיכוך בזרימה בצינור. הערך של מקדם החיכוך יכול לשמש במשוואת דרסי ויסבך לחישוב מפל הלחץ בזרימה בצינור. קולברוק פרסם את המשוואה בלונדון, בשנת 1939 כאשר תשומת הלב הופנתה לאזור המעבר בזרימה המוראים בדיאגרמת מודי, אזור שהיה בעייתי לחישוב בעת ההיא.

המשוואה

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {e}{3.7D}}+{\frac {2.51}{Re{\sqrt {f}}}}\right)$

• f - מקדם החיכוך בזרימה
• e - חספוס של הדופן הפנימית של הצינור
• D - קוטר פנימי של הצינור
• e/D- החיספוס היחסי של דופן הצינור
• Re - מספר ריינולדס

את משוואת קולברוק ומשוואת קולברוק וויט מציגם גם בצורה שונה באמצעות מושג הרדיוס ההידראולי:

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {e}{14.8R}}+{\frac {2.51}{Re{\sqrt {f}}}}\right)$

• R רדיוס הידראולי. בצינור עגול הוא D/4.
• הביטוי 14.8 * R לצינור עגול הוא 3.7 * D כפי שמופיע במשוואת קולברוק למעלה.

זרימה בתעלה:

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {e}{12R}}+{\frac {2.51}{Re{\sqrt {f}}}}\right)$

פתרון משוואת קולברוק

ניתן לפתור את המשוואה על ידי פונקציית W של למברט, אך בדרך כלל פותרים את משוואת קולברוק בשיטה נומרית איטרטיבית. מנחשים ערך ראשוני, מחשבים ערך שני ובודקים אם השינוי קטן מערך שנקבע מראש (כלל סיום החישוב) וחוזר חלילה. הספרים מציגים פתרון אפשרי כזה. בימנו פתרון סביר של משוואת קולברוק יעשה באמצעות מחשב.

נסמן: $x={\frac {1}{\sqrt {f}}},b={\frac {e}{12R}},a={\frac {2.51}{Re}}$ ונקבל:

$x=-2log(ax+b)$

או

$10^{-{\frac {x}{2}}}=ax+b$

נסמן:

$p=10^{-{\frac {1}{2}}}$

אזי:

$p^{x}=ax+b$

והפתרון:

$x=-{\frac {W(-{\frac {\ln p}{a}}\,p^{-{\frac {b}{a}}})}{\ln p}}-{\frac {b}{a}}$

ומכאן נקבל:

$f={\frac {1}{({\frac {2W({\frac {\ln 10}{2a}}\,10^{\frac {b}{2a}})}{\ln 10}}-{\frac {b}{a}})^{2}}}$

רדיוס הידראולי

הרדיוס ההידראולי הוא שטח חתך הזורם מחולק בהקף הרטוב:

$R_{h}={\frac {A}{P}}$

• A - שטח החתך של הזורם
• P - ההקף הרטוב של הצינור

מספר ריינולדס

${\mathit {Re}}={\rho v_{s}L \over \mu }$

או

${\mathit {Re}}={v_{s}L \over \nu }\;$

• v_s - מהירות ממוצעת בחתך הצינור,
• L - אורך אופייני ( L = 2r שווה לקוטר הצינור כאשר החתך של הצינור הוא עגול),
• μ - צמיגות דינמית
• ν = μ / ρ
• ν צמיגות קינמטית
• ρ - צפיפות הזורם

ערכים לחיספוס דופן הצינור e

צינור פלדה מסחרי צינור פלדה מגולבנת צינור ברזל יציקה צינור פלסטיק או זכוכית צינור בטון

0.0018 אינץ' 0.006 אינץ' 0.0102 אינץ' 0.00006 אינץ' 0.032 אינץ'

לקריאה נוספת

• 1982 Handbook of Hydraulics by Ernest F. Brater and Horace Williams King.Sixsth Edition. McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-007243-4 פרק 6.
• Computer Applications In Hydraulic Engineering, 5th Ed., 2002. Haestad Press, pg. 16

---