משולש רולו
משולש רולו הוא צורה גאומטרית קמורה הנוצרת על ידי חיתוך של שלוש קשתות מעגליות, שמרכזן בקדקודי משולש שווה-צלעות ורדיוסן שווה לאורך צלע המשולש. תכונתה הגאומטרית הבולטת של צורה זו היא, ששלוש הקשתות היוצרות אותה מהוות עקומה בעלת רוחב קבוע[1]. המשמעות האינטואיטיבית של תכונה זו היא שבשעה שהמשולש מתגלגל על פני משטח ישר, צדו המרוחק ביותר מהמשטח שומר על גובה קבוע, בכל רגע נתון.
קיימות עדויות לכך שהצורה הייתה מוכרת עוד בתקופת הרנסאנס. הראשון שגילה את תכונת הרוחב הקבוע שלה היה לאונרד אוילר. הצורה קרויה על שמו של מהנדס המכונות הגרמני פרנץ רולו אשר שילב אותה בחלק מהמנגנונים פורצי הדרך אותם פיתח[2].
בנייה עריכה
על מנת לבנות משולש רולו עם רוחב R באמצעות מחוגה יש לצייר מעגל ברדיוס R. אחרי כן יש לצייר מעגל נוסף שמרכזו נמצא על המעגל הראשון ורדיוסו R. לבסוף יש לצייר מעגל שלישי שמרכזו בנקודת חיתוך של שני המעגלים הקודמים ורדיוסו R. משולש רולו הוא הקו התוחם את השטח המשותף של שלושת העיגולים שנוצרו.
דרך אחרת לצייר משולש רולו היא לצייר משולש שווה-צלעות ואחר כך לצייר שלוש קשתות שהרדיוס שלהן שווה לגודל צלעות המשולש, כך שכל קודקוד של המשולש הוא המרכז של כל אחת מהן, ושני הקודקודים האחרים הם נקודות הקצה. שלוש הקשתות יוצרות משולש רולו.
לפי משפט בלשקה-לבג, למשולש רולו השטח המזערי מבין העקומות שרוחבן קבוע, שיש להן אותו הרוחב. שטח זה הוא , כאשר s הוא הרוחב הקבוע.
מצולעי רולו עריכה
ניתן להכליל את משולש רולו למצולע רולו כללי. מכל מצולע משוכלל עם מספר צלעות אי-זוגי ניתן לבנות מצולע רולו.
המצולע שנמצא בשימוש הרב ביותר הוא משובע רולו. ישנם מספר מטבעות בצורה זו:
- 20 פני ו-5 פני בריטיים
- 2 פולה, פולה אחד, 25 תבה ו-5 תבה בוטסואניים
- 50 סנט קפריסאי, החל מ-1991 ועד שעברה קפריסין לאירו ב-2008
רוחבם הקבוע של המטבעות שימושי במכונות שמופעלות על ידי מטבעות.
שימושים נוספים עריכה
- למקדחים מסוימים יש צורה של משולש רולו וכאשר הם מותקנים על ראשי מקדחה מיוחדים שמאפשרים ציר סיבוב לא קבוע, הם יכולים לקדוח חורים בצורה שקרובה לריבוע, אם כי זהו ריבוע שפינותיו מעוגלות מעט.
שטח של כל פינה הנשארת אז -
באמצעות מצולעי רולו אחרים ניתן לקדוח חורים בצורות מחומש, משושה ומתומן.
- משולש רולו יכול להתגלגל אבל לא סביב ציר סיבוב קבוע. אובייקט שמונח על קורות שחתכיהן הם משולשי רולו ינוע בצורה חלקה ושטוחה, אך ציר שמחובר לגלגלים בצורת משולשי רולו ינוע מעלה ומטה שלוש פעמים בכל סיבוב.
- עפרונות מסוימים מיוצרים בצורה זו ולא בצורות הנפוצות יותר, עיגול ומשושה. בפרסומים לעפרונות כאלה לעיתים נטען שהם נוחים יותר לאחיזה או גורמים לאחיזה נכונה, וכן שנטייתם להתגלגל משולחנות פחותה.
- העקומה מופיעה בשלטי מערכת השבילים הלאומית של ארצות הברית, שמופעלת על ידי שירות הפארקים הלאומיים, וכן בלוגו של בית הספר למכרות בקולורדו.
- צורת הרוטור במנוע ונקל היא משולש רולו שדפנותיו קמורות, שכל אחת מהן פועלת כמו בוכנה.
גרסה תלת-ממדית עריכה
חיתוכן של ארבע ספירות ברדיוס s שמרכזן בקודקודי ארבעון משוכלל שאורך צלעותיו s נקרא ארבעון רולו, אך גוף זה אינו משטח ברוחב קבוע. ניתן להפוך אותו למשטח ברוחב קבוע על ידי החלפת שלוש מקשתות הגבול שלו ביריעות שנוצרות מסיבוב קשת מעגלית. גוף זה נקרא ארבעון מייסנר. כמו כן, סיבוב משולש רולו סביב אחד מצירי הסימטריה שלו יוצר משטח ברוחב קבוע, שנפחו קטן מכל משטחי הסיבוב הידועים שרוחבם קבוע.
קישורים חיצוניים עריכה
- משולש רולו, באתר MathWorld (באנגלית)
- TED-ED (באנגלית)
הערות שוליים עריכה
- ^ משמעות מושג זה היא שהמרחק בין כל שני קווים תומכים (Supporting lines) מקבילים של הצורה הוא גודל קבוע. במקרה זה אחד מהקווים התומכים עובר דרך אחד מקדקודי המשולש, והקו השני משיק לקשת הנמצאת מול קדקוד זה.
- ^ Moon, F. C. (2007), The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century, History of Mechanism and Machine Science, 2, Springer, ISBN 978-1-4020-5598-0.