יהי
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}
מרחב הסתברות , ותהי
{
F
t
}
t
≥
0
{\displaystyle \left\{F_{t}\right\}_{t\geq 0}}
פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
.
יהי
{
N
t
}
t
≥
0
{\displaystyle \left\{N_{t}\right\}_{t\geq 0}}
, כאשר
N
t
:
Ω
→
R
{\displaystyle N_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }
, סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל
0
≤
s
≤
t
<
∞
{\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty }
מתקיים
N
s
≥
E
[
N
t
∣
F
s
]
{\displaystyle N_{s}\geq \mathbf {E} \left[N_{t}\mid F_{s}\right]}
.
משפט התכנסות סופר-מרטינגלים הראשון
עריכה
לכל
0
≤
t
<
∞
{\displaystyle 0\leq t<\infty }
, נגדיר
N
t
−
:=
max
(
−
N
t
,
0
)
{\displaystyle N_{t}^{-}:=\max \left(-N_{t},0\right)}
.
אם מתקיים כי
sup
t
≥
0
E
[
N
t
−
]
<
∞
{\displaystyle \sup _{t\geq 0}\mathbf {E} \left[N_{t}^{-}\right]<\infty }
, אז בהסתברות 1 קיים הגבול
lim
t
→
∞
N
t
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }N_{t}}
במובן של התכנסות נקודתית .
משפט התכנסות סופר-מרטינגלים השני
עריכה
הדברים הבאים שקולים:
מסקנה: משפט התכנסות מרטינגלים רציפים
עריכה
יהי
{
M
t
}
t
≥
0
{\displaystyle \left\{M_{t}\right\}_{t\geq 0}}
, כאשר
M
t
:
Ω
→
R
{\displaystyle M_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }
, מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל
0
≤
s
≤
t
<
∞
{\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty }
מתקיים
M
s
=
E
[
M
t
∣
F
s
]
{\displaystyle M_{s}=\mathbf {E} \left[M_{t}\mid F_{s}\right]}
.
אם קיים
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1<p<\infty }
שעבורו
sup
t
>
0
E
[
|
M
t
|
p
]
<
∞
{\displaystyle \sup _{t>0}\mathbf {E} \left[\left|M_{t}\right|^{p}\right]<\infty }
, אזי קיים משתנה מקרי
M
{\displaystyle M}
עם
∫
Ω
|
M
|
p
d
μ
<
∞
{\displaystyle \int _{\Omega }\left|M\right|^{p}d\mu <\infty }
, כך שמתקיים
M
t
⟶
t
→
∞
M
{\displaystyle M_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}M}
גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע .
הערה : אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד.
משפט התכנסות התוחלת המותנית: חוק האפס-אחד של לוי
עריכה
יהי
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}
מרחב הסתברות , ויהי
X
{\displaystyle X}
משתנה מקרי בעל תוחלת סופית.
תהי
{
F
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}
פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
. נגדיר
F
∞
=
σ
(
F
1
,
F
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle F_{\infty }=\sigma \left(F_{1},F_{2},...\right)}
.
אזי מתקיים
E
[
X
∣
F
n
]
⟶
n
→
∞
E
[
X
∣
F
∞
]
{\displaystyle \mathbf {E} \left[X\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[X\mid F_{\infty }\right]}
גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע .
הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם
E
∈
F
∞
{\displaystyle E\in F_{\infty }}
מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1,
P
(
E
∣
F
n
)
=
E
[
1
E
∣
F
n
]
⟶
n
→
∞
E
[
1
E
∣
F
∞
]
=
1
E
{\displaystyle \mathbb {P} \left(E\mid F_{n}\right)=\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{\infty }\right]=1_{E}}
.
תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא.
למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב , שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים
P
(
E
)
=
1
E
{\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=1_{E}}
בהסתברות 1, ובמילים אחרות
P
(
E
)
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)\in \left\{0,1\right\}}
.