משפט היין

ישנם מספר משפטים בגאומטריה המיוחסים למתמטיקאי האמריקאי לארי היין (Larry Hoehn).

המשפט הראשון: הכללה של משפט פיתגורס למשולש שווה-שוקיים

ניסוח המשפט. בהינתן משולש שווה-שוקיים שאורך השוק שלו הוא c, נעביר ישר באורך a מזווית הראש אל הבסיס. הישר מחלק את הבסיס לשני קטעים שאורכיהם b, d, אזי: $\quad c^{2}=a^{2}+bd\quad \,$
במקרה הפרטי שבו הישר הפנימי הוא גובה (ולפי משפט ידוע בגאומטריה, גם תיכון), מתקיים ש $b=d\,$ ומתקבל משפט פיתגורס. המשפט פורסם בשנת 2000, כאשר לארי היין בחן אחת מההוכחות הרבות למשפט פיתגורס. סביר להניח שהמשפט התגלה כבר בעבר, אך אין לכך תיעוד בספרות המתמטית.

הוכחת המשפט

יהי ABC משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא C ובסיסו AB. הישר CD מחלק את הבסיס לקטעים שאורכיהם b,d. נעביר אנך CE מהקודקוד לבסיס.

1. ממשפט פיתגורס במשולש BCE מתקבל השוויון: $CE^{2}+BE^{2}=BC^{2}=c^{2}\,$
2. ממשפט פיתגורס במשולש DCE מתקבל השוויון: $CE^{2}+DE^{2}=DC^{2}=a^{2}\,$
3. מחיסור בין השווינות שהתקבלו בשלבים הקודמים נקבל: $c^{2}-a^{2}=BE^{2}-DE^{2}=(BE-DE)\cdot (BE+DE)=bd$

קישורים חיצוניים

• הכללת היין למשפט פיתגורס באתר cut-the-knot
• העמוד הראשון של המאמר על הכללת משפט פיתגורס שפרסם לארי היין בשנת 2000
• משפט נוסף על שמו של היין באתר mathworld