משפט הנורמליזציה של נתר

במתמטיקה, ובמיוחד אלגברה קומוטטיבית, משפט הנורמליזציה של נתר הוא תוצאה טכנית חשובה שהוכיחה אמי נתר.

ניסוח המשפט

המשפט קובע שכל תחום שלמות שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל שדה $K$, הוא הרחבה שלמה של חוג פולינומים. כלומר, קיימים באלגברה איברים בלתי תלויים אלגברית $y_{1},\dots ,y_{d}\in A$ כך שכל איבר $a\in A$ מאפס פולינום מתוקן עם מקדמים ב-$B=K[y_{1},\dots ,y_{d}]$.

מקרה פרטי של המשפט הוא הניסוח הבא:

יהי $K$ שדה אינסופי ו-$A=K[a_{1},...,a_{n}]$ אלגברה נוצרת סופית מעל $K$. אזי קיימים $y_{1},...,y_{m}$ כאשר $m\leq n$ כך ש-$y_{1},...,y_{m}$ בלתי-תלויים אלגברית ו-$A$ היא מודול נוצר סופית מעל $B=K[y_{1},...,y_{m}]$, כלומר: קיימים $x_{1},...,x_{\ell }$ (עם $\ell \in \mathbb {N}$ סופי) כך ש-$A=Bx_{1}+...+Bx_{\ell }$.

שימושים ומסקנות

משפט הנורמליזציה של נתר נחשב למשפט בסיסי באלגברה קומוטטיבית, ויש לו שימושים רבים להוכחות משפטים בסיסיים בתחום.

• למת זריצקי - שדה אפיני הוא אלגברי. כלומר, אם $R=K[a_{1},...,a_{n}]$ אלגברה אפינית ושדה, אז $[R:K]<\infty$.

מספר מסקנות מלמת זריצקי:

- שדה אפיני מעל שדה סגור אלגברית הוא רק השדה עצמו.

- אם $H\subseteq R$ תת-אלגברה כלשהי, ו-$P$ אידיאל מקסימלי, אז $P\cap H$ אידיאל מקסימלי של $H$.

- כל אידיאל מקסימלי של שדה סגור אלגברית הוא מהצורה $\langle \lambda _{1}-a_{1},...,\lambda _{n}-a_{n}\rangle$. משפט זה מהווה התאמה בין נקודות של מרחב אפיני ואידיאלים מקסימליים, ומהווה משפט בסיסי בגאומטריה אלגברית.

• דרגת הטרנסצנדנטיות של כל אלגברה אפינית (תחום שלמות) שווה לממד קרול שלה.

משמעות גאומטרית

במונחים גאומטריים, $B$ הוא חוג הקואורדינטות של המרחב האפיני $K^{d}$, $A$ הוא חוג הקואורדינטות של יריעה אלגברית כלשהי (שחייבת להיות מאותו ממד כמו $B$). מכיוון ש-$\,B\subseteq A$, הרי שקיים הומומורפיזם הכלה:

$\phi :B\rightarrow A$, $\phi (x)=x$

המורפיזם המושרה על הסכמות האפיניות הוא מורפיזם סופי: $\phi :Spec(A)\rightarrow Spec(B)$ .

המסקנה היא שכל יריעה אלגברית היא כיסוי מסועף של מרחב אפיני.

לקריאה נוספת

• David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-63293-X.
• Klaus Hulek (2003). Elementary Algebraic Geometry. AMS. ISBN 0-8218-2952-1.