משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו).
המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית.
בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: .
מכיוון ש מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאיםמוסלמים.
המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.
ניקח משולש בעל צלעות , ו-, ובעל זוויות , ו- ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:
את המשולש ABC שצלעותיו BC = aAC = bAB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל.
נבנה משולש ABDהחופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC.
מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה.
עבור סימפלקסים רב-ממדיים (מממד גבוה מ-2) קיימות נוסחאות טריגונומטריות בעלות צורה דומה לזו של משפט הקוסינוסים. במקרה התלת-ממדי, הסימפלקס המתקבל הוא הטטראדר, והנוסחה האנלוגית למשפט הקוסינוסים קושרת בין השטחים של שלוש פאות והזוויות הדיהדרליות ביניהן לשטח הפאה הרביעית. אם נסמן את השטחים של ארבע הפאות של הטטראדר ב-α,β,γ,δ ואת הזווית הדיהדרלית בין שתי פאות בסימון (למשל) , אז:
השלב המרכזי בהוכחה הוא להראות שאם נשרטט וקטור ניצב לכל פאה אשר אורכו שווה לשטח שלה, אז סכום ארבעת הווקטורים שיתקבלו יהיה אפס. אם נציב את הראשית באחד מקודקודי הארבעון ונניח שכיוון כל אחד משלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות שנפגשות באותו קודקוד הוא אל הראשית (ולא החוצה), אז אם נסמן את שלושת הווקטורים הללו ב-, נקבל ששלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות הנותרות הם: . כל אחד מוקטורי הנורמל לפאות שווה למחצית המכפלה הווקטורית שמתאימה לו:
בעוד המכפלה הווקטורית המתאימה לפאה האחרונה היא:
אם נחבר את ארבעת וקטורי הנורמל תוך שימוש בדיסטריביוטיביות המכפלה הווקטורית, נקבל:
חוק הקוסינוסים בעבור טטראדר מתקבל מעובדה זו בצורה מיידית באמצעות שוויון הנורמה בריבוע של עם המכפלה הסקלרית, ממנו מקבלים:
אבל, מהגדרת הזווית הדיהדרלית נובע: , מה שמשלים את ההוכחה.