נוסח פורמלי
עריכה
תהי
f
:
[
0
,
1
]
→
C
{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }
פונקציה מדידה-לבג . אזי לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
קיימת קבוצה סגורה
K
⊂
[
0
,
1
]
{\displaystyle K\subset [0,1]}
המקיימת
λ
(
[
0
,
1
]
∖
K
)
<
ϵ
{\displaystyle \lambda \left([0,1]\setminus K\right)<\epsilon }
(כאשר
λ
{\displaystyle \lambda }
היא מידת לבג ), כך שעל
K
{\displaystyle K}
הפונקציה
f
{\displaystyle f}
שווה כמעט תמיד לפונקציה רציפה.
הערה: ניתן להשתמש במשפט ההרחבה של טיצה כדי להרחיב את הפונקציה
f
∣
K
{\displaystyle f\mid _{K}}
להיות פונקציה רציפה המוגדרת על כל
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
.
נגדיר
F
n
=
{
x
∈
[
a
,
b
]
∣∣
f
(
x
)
∣>
n
}
{\displaystyle F_{n}=\left\{x\in [a,b]\mid \mid f(x)\mid >n\right\}}
. בוודאי מתקיים
⋂
n
=
1
∞
F
n
=
∅
{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}=\emptyset }
, ומהיות
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
בעל מידת לבג סופית נובע כי
lim
n
→
∞
λ
(
F
n
)
=
λ
(
⋂
n
=
1
∞
F
n
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda (F_{n})=\lambda \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\right)=0}
.
נקבע
N
{\displaystyle N}
שעבורו
λ
(
F
N
)
<
ϵ
{\displaystyle \lambda (F_{N})<\epsilon }
, כלומר לכל
x
∈
F
N
∁
{\displaystyle x\in F_{N}^{\complement }}
מתקיים
∣
f
(
x
)
∣<
N
{\displaystyle \mid f(x)\mid <N}
. כל פונקציה מדידה וחסומה על קטע סופי היא אינטגרבילית לבג , ולכן
h
:=
f
∣
F
N
∁
∈
L
1
{\displaystyle h:=f\mid _{F_{N}^{\complement }}\in L^{1}}
.
מרחב הפונקציות הרציפות צפוף ב-
L
1
{\displaystyle L^{1}}
, ולכן
h
{\displaystyle h}
היא גבול של פונקציות רציפות בנורמת
L
1
{\displaystyle L^{1}}
. ידוע שלכל סדרה המתכנסת ב-
L
1
{\displaystyle L^{1}}
קיימת תת-סדרה המתכנסת כמעט תמיד , לכן
h
{\displaystyle h}
היא גבול כמעט תמיד של פונקציות רציפות.
ממשפט אגורוף יש קבוצה מדידה
E
⊂
[
0
,
1
]
{\displaystyle E\subset [0,1]}
המקיימת
λ
(
E
)
<
ϵ
/
2
{\displaystyle \lambda (E)<\epsilon /2}
, כך שעל
E
∁
{\displaystyle E^{\complement }}
ההתכנסות כמעט תמיד ל-
h
{\displaystyle h}
היא התכנסות במידה שווה . מרגולריות מידת לבג יש קבוצה קומפקטית
K
⊂
E
{\displaystyle K\subset E}
המקיימת
λ
(
E
∖
K
)
<
ϵ
/
2
{\displaystyle \lambda (E\setminus K)<\epsilon /2}
. גבול במידה שווה של פונקציות רציפות על קבוצה קומפקטית הוא פונקציה רציפה, ולכן
f
∣
K
=
h
∣
K
{\displaystyle f\mid _{K}=h\mid _{K}}
רציפה. זו הקבוצה המבוקשת, כי
λ
(
[
0
,
1
]
∖
K
)
=
λ
(
E
∁
)
+
λ
(
E
∖
K
)
<
ϵ
/
2
+
ϵ
/
2
=
ϵ
{\displaystyle \lambda \left([0,1]\setminus K\right)=\lambda \left(E^{\complement }\right)+\lambda \left(E\setminus K\right)<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon }
.
קיימת גרסה כללית יותר למשפט: יהי
(
X
,
M
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )}
מרחב מידה כאשר
μ
{\displaystyle \mu }
היא מידת רדון . יהי גם
Y
{\displaystyle Y}
מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה , היוצר מרחב מדיד עם סיגמא אלגברת בורל שלו, ותהי
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
.
לכל
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
, לכל קבוצה מדידה
A
∈
M
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}
בעלת מידה סופית קיימת קבוצה מדידה
E
∈
M
{\displaystyle E\in {\mathcal {M}}}
המוכלת ב-
A
{\displaystyle A}
, כך שמתקיים
μ
(
A
∖
E
)
<
ϵ
{\displaystyle \mu (A\setminus E)<\epsilon }
, כך שעל הקבוצה
E
{\displaystyle E}
הפונקציה
f
{\displaystyle f}
רציפה.
בנוסף, אם הקבוצה
A
{\displaystyle A}
קומפקטית מקומית , אז ניתן לבחור את
E
{\displaystyle E}
הנ"ל שתהיה קומפקטית, ובמקרה זה קיימת פונקציה רציפה
g
{\displaystyle g}
בעלת תומך קומפקטי המקיימת
f
∣
E
=
g
∣
E
{\displaystyle f\mid _{E}=g\mid _{E}}
.
לקריאה נוספת
עריכה
N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1688–1690.
קישורים חיצוניים
עריכה