משפט נושירו-ורשבסקי

באנליזה מרוכבת, משפט נושירו-ורשבסקי (Noshiro–Warschawski theorem) (לעיתים קריטריון נושירו-ורשבסקי) נותן תנאי מספיק להיותה של פונקציה הולומורפית אוניוולנטית, כלומר גם חד חד ערכית, בתחום הגדרתה. ממנו נובע משפט אלכסנדר (Alexander), המדבר על פונקציות אוניוולנטיות בעיגול היחידה. המשפט נקרא על שמם של המתמטיקאים סטפן ורשבסקי ונושירו.

ניסוח

תהי $f:\Omega \to \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית בתחום קמור $\Omega$. המשפט קובע כי אם קיים $\alpha \in \mathbb {R}$ כך ש-$Re(e^{i\alpha }f'(z))>0$ לכל $z\in \Omega$, אז $f$ אוניוולנטית ב-$\Omega$, כלומר גם חד חד ערכית.

הוכחה

יהיו $z_{1}\neq z_{2}\in \Omega$. נבצע אינטגרל קווי על הקו $\gamma (t)=z_{1}+(z_{2}-z_{1})t$, המוכל בתחום כי הוא קמור. נקבל לפי המשפט היסודי:

$f(z_{1})-f(z_{2})=\int _{\gamma }{f'(z)dz}=\int _{0}^{1}{f'(\gamma (t))(z_{2}-z_{1})dt}=(z_{2}-z_{1})e^{-i\alpha }\int _{0}^{1}{e^{i\alpha }f'(\gamma (t))dt}$

האגף הימני שונה מאפס, כי נתון $Re(e^{i\alpha }f'(z))>0$.

משפט אלכסנדר

מקרה פרטי חשוב של המשפט הנ"ל הוא:

משפט אלכסנדר: אם $f:D=\{z:|z|<1\}\to \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית כזו ש-$\forall z\in D:Re(f'(z))>0$, אז $f$ חד חד ערכית ב-$D$.

דוגמה

כדי להוכיח שהפונקציה $f(z)=-z-2-ln(1-z)$ היא חד-חד-ערכית ב-$D$, נשים לב ש-$f'(z)={\frac {1+z}{1-z}}$; זוהי העתקה קונפורמית ממעגל היחידה לחצי המישור הימני, ולכן $Re(f'(z))>0$, ולכן לפי המשפט $f$ חד חד ערכית.

הכרחיות התנאים והכללות

הדרישה שהתחום $\Omega$ יהיה קמור היא הכרחית.

Tim הוכיח בשנת 1951 כי לכל תחום לא קמור ופשוט קשר בעל לפחות 2 נקודות שפה, קיימת פונקציה הולומורפית $f$ כזו ש-$Re(f'(z))>0$ אך היא איננה חד-חד-ערכית.

גודמן הוכיח גרסה כללית יותר של המשפט עבור פונקציות p-ולנטיות (לפרטים ראו בקריאה נוספת):

משפט: אם $f:\Omega \to \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית בתחום קמור $\Omega$, וקיים מספר טבעי $p$ ומספר ממשי $\alpha$ כך ש-$\forall z\in \Omega :Re(e^{i\alpha }f^{(p)}(z))>0$, אז $f$ היא לכל היותר p-ולנטית ב-$\Omega$.

ראו גם

• פונקציה אוניוולנטית

קישורים חיצוניים

• חומר עם הסבר של המשפט