משפט רול

משפט רול (על שם מישל רול שניסח אותו ב-1691), הוא משפט בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי, העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור $\left[a,b\right]$, גזירה בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$ וערכיה בשני קצוות הקטע זהים, כלומר $f(a)=f(b)$, אז קיימת נקודה c בקטע $\left(a,b\right)$ כך ש-$f'(c)=0$, כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.

המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה c, מקביל לקו האדום המחבר את הקטע [a,b] ולציר ה-x.

מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של $y$) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.

המשפט

תהי $\ f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $\left[a,b\right]$ וגזירה בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$ כך שמתקיים $f(a)=f(b)$. אז קיימת נקודה $c\in (a,b)$ כך שמתקיים $f'(c)=0$.

הוכחה

על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה בקטע $\left[a,b\right]$, והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה בקטע $\left(a,b\right)$. אחרת, המקסימום או המינימום מתקבלים בתוך הקטע ובכל אחד מהמקרים קיימת נקודת קיצון $\ x_{0}$ בקטע $\left(a,b\right)$. לפי תנאי המשפט, הפונקציה גזירה ב-$\left(a,b\right)$ ובפרט היא גזירה ב-$\ x_{0}$, ולכן על פי משפט פרמה ערך הנגזרת ב-$\ x_{0}$ הוא אפס כנדרש.

הכללות

אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.

קישורים חיצוניים

• משפט רול, באתר MathWorld (באנגלית)
• משפט רול, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• משפט רול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)