הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.
במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק.
נסמן ב- את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה :
כאשר הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה .
נגדיר את התשלום לקואליציה בצורה הבאה: , כאשר היא פונקציית הייצור.
לכל קואליציה נבחר הקצאה שבה מתקבל המקסימום בהגדרת .
מתקיים:
(i)
לכל שחקן i.
(ii)
, כאשר הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.
(iii)
נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן.
יהי , כאשר הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב- , ו- היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את .
צריך להראות כי .
נגדיר:
.
נראה כי הוא הקצאה אפשרית:
כי הוא ממוצע של וקטורים ב- .
נותר להראות כי :
מכיוון ש- ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר -
לכן -
כלומר הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת ומהגדרת נקבל:
אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות .
על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
.
כיון ש- הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה.
לקריאה נוספת
עריכה