משתמש:יחס הזהב/תתי מרחבים

מושגי יסוד

• מרחב וקטורי - מרחב וקטורי הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שאבריה וקטורים הסגורים לחיבור ולכפל בסקלר.
• צירוף ליניארי - סכום של מספר סופי של וקטורים שכל אחד מהם מוכפל בסקלר. בגלל סגירותו של המרחב הווקטורי ביחס לחיבור וכפל בסקלר, הצירוף הליניארי אף הוא וקטור השייך לאותו מרחב וקטורי.
• קבוצה פורשת -קבוצת וקטורים שבאמצעותם ניתן להציג כצירוף ליניארי כל וקטור במרחב הנפרש. בהתאם לכך, $\ S$ פורשת את $\ V$ אם ורק אם $\ V=Sp(S)$. יש לשים לב: $S\iff S=Sp(S)$ תת מרחב.
• בסיס - קבוצה פורשת בת"ל.
• מימד - מספר הווקטורים בבסיס.

פעולות על תתי מרחבים

• $U\cup W$ תת מרחב אם ורק אם $U\subseteq W$ או $W\subseteq U$.
• $U\cap W$ תמיד תת מרחב.
• $U+W$ תמיד תת מרחב.
• $U+W$ הוא תת המרחב הקטן ביותר המכיל את $U$ ואת $W$.
• $U+W$ הוא סכום ישר אם החיתוך בניהם הוא מרחב האפס.
• $U\oplus W=V$ אם ורק אם $U+W=V$ וגם $U\cap W=\left\{0\right\}$.
• $Span(A)+Span(B)=Span(A\cup B)$ חשוב!
• $Span(V_{1},\cdots V_{n})$ הוא תמיד תת מרחב.
• $Span(V_{1},\cdots V_{n})$ הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את $Span(V_{1},\cdots V_{n})$.

מימדים

• $\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$
• $\dim(\mathbb {F} ^{m\times n})=m\cdot n$
• $dim(\mathbb {F} _{n}[x])=n+1$

• $V\subseteq W)$ וגם $V=W\Leftarrow (dim(V)=dim(W)$
• "השלישי חינם" + ומתקיים ש $S$ היא בסיס ל $V$:

1. $S$ בת"ל
2. $span(S)=V$
3. $\#S=dim(V)$.

"ומה עם הקבוצה הריקה?"

• $S\Leftarrow 0\in S$ תלויה ליניארית.
• $span(\emptyset )=\{0\}$ - הבסיס למרחב האפס הוא קבוצה ריקה והמימד שלו הוא אפס.