משתמש:Amir.shtanger/התמרת הילברט

התמרת הילברט היא אופרטור לינארי במתמטיקה ובעיבוד אותות, שמקבל פונקציה $u(t)$, ומחזיר פונקציה $H{(u)(t)}$, עם אותו תחום.

התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

מבוא

התמרת הילברט של פונקציה $u(t)$ היא קונבולוציה של הפונקציה $u(t)$ עם הפונקציה $h(t)=1/(\pi t)$.

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה: 

$H(u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau$

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה u, התוצאה היא u שלילית:

$H(H(u))(t)=-u(t)$

סימון

בעיבוד אותות, התמרת הילברט של $u(t)$ מסומנת ע"י:  ${\widehat {u}}(t)\,$. מתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא ${\tilde {u}}(t)$.

טבלת התמרות הילברט

האות $u(t)\,$	התמרת הילברט $H(u)(t)$
$\sin(t)$	$-\cos(t)$
$\cos(t)$	$\sin(t)\,$
$\exp \left(it\right)$	$-i\exp \left(it\right)$
$\exp \left(-it\right)$	$i\exp \left(-it\right)$
$1 \over t^{2}+1$	$t \over t^{2}+1$
$e^{-t^{2}}$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$
פונקציית Sinc $\sin(t) \over t$	$1-\cos(t) \over t$
פונקציית המלבן $\sqcap (t)$	${1 \over \pi }\log \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|$
פונקציית דלתא של דיראק $\delta (t)\,$	${1 \over \pi t}$

ראו גם

• התמרת פורייה
• התמרת Z

קטגוריה:עיבוד אותות קטגוריה:מתמטיקה