נוסחאות ניוטון-קוטס

באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחת ניוטון-קוטס עבור $n=2$

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס מתאימות יותר.

תיאור

ההנחה היא שערך הפונקציה f המוגדרת ב $[a,b]$ ידוע ב $n+1$ נקודות שוות מרחק: $a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b$ . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר $x_{0}=a$ ו $x_{n}=b$, כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר $x_{0}>a$ ו $x_{n}<b$, כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות $n+1$ נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ-

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),$$

כאשר

• עבור נוסחה סגורה, $x_{i}=a+ih$, עם $h={\frac {b-a}{n}}$ ,
• עבור נוסחה פתוחה, $x_{i}=a+(i+1)h$, עם $h={\frac {b-a}{n+2}}$ .

המספר h נקרא גודל צעד, $w_{i}$ נקראות משקולות .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב $x_{i}$ ולא על הפונקציה f .

יהי $L(x)$ פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות $(x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))$, אזי

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.$$

חוסר יציבות לדרגה גבוהה

ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה n . עם זאת, עבור n גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת Runge הקטסטרופלית שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור n גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות.

נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור $0\leq i\leq n$, יהי $x_{i}=a+ih$ כאשר $h={\frac {b-a}{n}}$, ו $f_{i}=f(x_{i})$.

נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות

n	גודל צעד h	שם נפוץ	נוּסחָה	מונח שגיאה
1	$b-a$	כלל טרפז	${\frac {1}{2}}h(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {b-a}{2}}$	כלל סימפסון	${\frac {1}{3}}h(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {b-a}{3}}$	חוק 3/8 של סימפסון	${\frac {3}{8}}h(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
4	${\frac {b-a}{4}}$	הכלל של בולה	${\frac {2}{45}}h(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם.

המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר $\xi$ יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר $f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b$ .

נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור $0\leq i\leq n$, יהי $x_{i}=a+(i+1)h$ כאשר $h={\frac {b-a}{n+2}}$, ו $f_{i}=f(x_{i})$ .

פתח את נוסחאות ניוטון-קוטס

n	גודל צעד h	שם נפוץ	נוּסחָה	מונח שגיאה
0	${\frac {b-a}{2}}$	כלל מלבן, או </br> כלל נקודת האמצע	$2hf_{0}$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
1	${\frac {b-a}{3}}$		${\frac {3}{2}}h(f_{0}+f_{1})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {b-a}{4}}$	כלל מילן	${\frac {4}{3}}h(2f_{0}-f_{1}+2f_{2})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {b-a}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{0}+f_{1}+f_{2}+11f_{3})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$

כללים מורכבים

כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד h צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה $[a,b]$ חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול $[a,b]$ לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא כלל מורכב . ראה אינטגרציה נומרית .

ראו גם

• ריבוע (מתמטיקה)
• אינטרפולציה
• אינטרפולציה של ספליין

הפניות

• מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים. <i id="mwAQM">מדריך לפונקציות מתמטיות עם נוסחאות, גרפים וטבלאות מתמטיות</i> . ניו יורק: דובר, 1972. (ראה סעיף 25.4.)
• ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. שיטות מחשב לחישובים מתמטיים . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. (ראה סעיף 5.1.)
• יוסף סטואר ורולנד בולירש. מבוא לניתוח נומרי . ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. (ראה סעיף 3.1.)

קישורים חיצוניים

• Newton–Cotes formulas on www.math-linux.com
• Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld.
• Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com