ניסוי קוונדיש

ניסוי קוונדיש הוא ניסוי פיזיקלי בו עושים שימוש במאזני פיתול לצורך מדידת הקשר בין מסת גוף לבין השפעות הכבידה שהיא מחוללת בסביבתה.

המיוחד בניסוי זה הוא בכך שבאמצעותו מתקבלת רגישות גבוהה להשפעה בין מסות במישור האופקי, תוך ביטול השפעת מסתו הגדולה של כדור הארץ על תוצאות הניסוי. יתרון זה של הניסוי הוא גם בעוכריו, מכיוון שהרגישות הגדולה של מאזני הפיתול להשפעות במישור האופקי, החיונית למדידת השפעותיהן של המסות העומדות למבחן, חושפת אותו לאי דיוקים עקב השפעות סביבתיות משתנות שקשה להעריכן ולעמוד על טיבן, כגון זרמי אוויר, מגנטיות, חשמל סטטי, גאות ושפל ועוד.

את הניסוי תכנן במקור הגאולוג ג'ון מישל, שהרכיב את מאזני הפיתול, אך מת לפני שהספיק לסיים את הניסוי. אחרי מות מישל ב-1793 עברו חלקי המתקן בירושה לפרנסיס ג'ון הייד הוליסטר, והוא העבירו לידי הנרי קוונדיש. בשנים 1797–1798 הרכיב קוונדיש מחדש את המתקן תוך שהוא דבק בתוכניותיו ובשרטוטיו של מישל. בעזרת המתקן שהרכיב ערך קוונדיש מספר ניסויים כשהמטרה שהציב לעצמו במקור הייתה מציאת היחס בין צפיפות כדור הארץ לצפיפות המים לצורך הערכת צפיפותו הממוצעת של כדור הארץ מתוך ידיעת צפיפותם של מים. כדי למזער השפעת זרמי אוויר על תוצאות הניסויים, הרכיב קוונדיש את המתקן בחדר אטום וערך את מדידותיו מרחוק באמצעות טלסקופ, שבעזרתו השקיף אל פנים החדר.

על-פי חוק הכבידה העולמי של ניוטון, כוח המשיכה הפועל בין שני גופים עומד ביחס ישר למכפלת מסותיהם, וביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם, וקבוע הכבידה G הוא קבוע פרופורציה בין יחידותיהם הסטנדרטיות של גדלים פיזיקליים אלה. גדלו של G לא היה ידוע באותה עת אם כי מסת כדור הארץ וצפיפותו הוערכו לראשונה כבר בניסוי צ'יהליון בשנת 1774. וניסוייו של קוונדיש אפשרו לראשונה הערכה טובה שלו, אם כי הוא עצמו לא הזכיר הערכה כזו בכתביו.

במהלך השנים חזרו צוותים רבים של פיזיקאים על ניסוי קוונדיש בווריאציות שונות, אך למרות השכלולים הרבים והמאמצים הגדולים שננקטו על מנת להעריך ולמזער השפעות סביבתיות על תוצאות הניסוי, עדיין נותר קבוע הכבידה G הקבוע הפיזיקלי שרמת הדיוק המיוחסת לו נמוכה מזו של כל שאר הקבועים.

מערך הניסוי עריכה

מוט עץ באורך 1.8 מטרים נתלה במאוזן באמצעות חוט הקשור בקצה האחד למרכזו ובקצה השני לתקרת חדר. לכל אחד מקצותיו של מוט העץ חובר כדור עופרת קטן. בסמוך לכל אחד מאותם כדורי עופרת קטנים הוצב כדור עופרת גדול, במשקל של 158 קילוגרם כל אחד^[1], על גבי מסגרת נפרדת. המשיכה הכבידתית שהפעילו כדורי העופרת הגדולים על הכדורים הקטנים שבקצות המוט גרמה לסיבוב אופקי קל של המוט ולפיתול של החוט.

ידיעת מידת התנגדותו של החוט לפיתול מאפשרת לתרגם את מידת הסיבוב של המוט לערכו של כוח הכבידה הפועל על קצותיו. בהינתן המסות והמרחקים ביניהן, ניתן באמצעות משוואתו של ניוטון לחשב את קבוע הכבידה. משום שגודל כוח המשיכה בין כדור הארץ לבין גוף בעל מסה ידועה ניתן לחישוב באופן מיידי, איפשר ניסוי קוונדיש להעריך לראשונה את מסת כדור הארץ, ומתוך ערך זה להסיק גם את מסתם המשוערת של הירח, השמש וכוכבי הלכת במערכת השמש. כאמור, קוונדיש עצמו לא הזכיר בכתביו הערכות בדבר ערכו של G ומסותיהם של גרמי שמיים אלא רק הערכה בדבר צפיפותו הממוצעת של כדור הארץ. הערך אותו הוא פרסם הוא 5.48 גרם/סמ"ק, אף על פי שכאשר בודקים את הערך הממוצע העולה מתוך 29 ניסויים שערך, עולה כי צפיפות כדור הארץ היא 5.448 גרם/סמ"ק. הערך המקובל כיום עבור צפיפותו הממוצעת של כדור הארץ הוא 5.5153 גרם/סמ"ק.

חישוב G ומסת כדור הארץ עריכה

להגדרות המושגים, ראה את האיור מטה ואת הטבלה שבסוף פסקה זו.

התיאור הבא הוא לא השיטה שבה השתמש קוונדיש, אלא השיטה שבה פיזיקאים מודרניים יחשבו את תוצאות הניסוי^[2]^[3]^[4]. לפי חוק הוק, המומנט בסיב פיתול הוא ביחס ישר לזווית ההסטה $\theta$ של המאזניים. המומנט הוא $\kappa \theta$ , כאשר $\kappa$ היא מקדם הפיתול של הסיב. עם זאת, המומנט יכול להיכתב גם כביטוי של כוחות המשיכה בין הכדורים והמרחק אל סיב התלייה. מאחר שישנם שני זוגות של כדורים, ועל כל אחד מהם פועל כוח F במרחק L / 2 מציר המאזניים, המומנט הוא LF. משתי הנוסחאות מקבלים את הבא:

\kappa \theta \ =LF\,

עבור F, חוק הכבידה של ניוטון משמש לבטא את כוח המשיכה בין הכדורים הגדולים לקטנים:

איור המתאר את מאזני הפיתול בניסוי קוונדיש בצורה פשטנית וסכמטית

F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,

הצבת F במשוואה הראשונה נותנת

(1)\qquad \qquad \qquad \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}

למציאת קבוע הפיתול ( $\kappa \,$ ) של החוט, קוונדיש מדד את זמן המחזור T של התהודה הטבעית של מאזני הפיתול:

T=2\pi {\sqrt {I/\kappa }}

בהנחה שהמסה של המוט עצמו היא זניחה, מומנט ההתמד של המאזניים נובע מהכדורים הקטנים בלבד:

I=m(L/2)^{2}+m(L/2)^{2}=2m(L/2)^{2}=mL^{2}/2\,

,

וכך:

T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,

פתירת המשוואה עבור $\kappa$ , הצבה ל־(1), וסידור מחדש עבור G, נותנים:

G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}}{MT^{2}}}\theta \,

לאחר ש־G נמצא, המשיכה של גוף הנמצא על פני כדור הארץ אל כדור הארץ עצמו יכולה לשמש לחישוב המסה והצפיפות של כדור הארץ:

mg={\frac {GmM_{earth}}{R_{earth}^{2}}}\,

M_{earth}={\frac {gR_{earth}^{2}}{G}}\,

\rho _{earth}={\frac {M_{earth}}{4\pi R_{earth}^{3}/3}}={\frac {3g}{4\pi R_{earth}G}}\,

הגדרת הביטויים
סימן	יחידות	הגדרה
$\theta \,$	${\mbox{radians}}\,$	הסטה של מוט מאזני הפיתול ממיקום מצב המנוחה שלו
$F\,$	${\mbox{N}}\,$	כוח הכבידה בין המסות M ו־m
$G\,$	${\mbox{m}}^{3}{\mbox{kg}}^{-1}{\mbox{s}}^{-2}\,$	קבוע הכבידה
$m\,$	${\mbox{kg}}\,$	מסת כדור העופרת הקטן
$M\,$	${\mbox{kg}}\,$	מסת כדור העופרת הגדול
$r\,$	${\mbox{m}}\,$	מרחק בין מרכז הכדור הגדול והקטן כאשר המאזניים מוסטים
$L\,$	${\mbox{m}}\,$	אורך מוט מאזני הפיתול בין מרכזי הכדורים הקטנים
$\kappa \,$	${\mbox{N}}\,{\mbox{m}}\,{\mbox{radian}}^{-1}\,$	קבוע הפיתול של הסיב התולה
$I\,$	${\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{2}\,$	מומנט ההתמד של מוט מאזני הפיתול
$T\,$	${\mbox{s}}\,$	זמן המחזור של מאזני הפיתול
$g\,$	${\mbox{m}}\,{\mbox{s}}^{-2}\,$	תאוצת הכובד על פני כדור הארץ
$M_{earth}\,$	${\mbox{kg}}\,$	מסת כדור הארץ
$R_{earth}\,$	${\mbox{m}}\,$	רדיוס כדור הארץ
$\rho _{earth}\,$	${\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{-3}\,$	צפיפות כדור הארץ