ניתוח שונות

בסטטיסטיקה, ניתוח שונות חד כיווני (באנגלית: Analysis of variance,‏ One Way ANOVA) הוא אוסף מודלים סטטיסטיים שמטרתו לנתח את ההבדלים בין ממוצעים של קבוצות. אוסף המודלים פותח על ידי הסטטיסטיקאי רונלד פישר. ANOVA מרחיב את מבחן t ליותר משתי קבוצות, ולכן שימושי בעיקר בעבור השוואה בין שלושה ממוצעים או יותר.

הנחות המודל

נניח כי ישנן k קבוצות שונות שנרצה להשוות ביניהן. בכל קבוצה יש $n_{i}$ תצפיות, כך שהתצפית $Y_{i,j}$ היא התצפית ה-j בקבוצה ה-i.

אזי המודל מניח כי התצפיות בקבוצה ה-i מתפלגות נורמלית סביב תוחלת השווה ל- $\mu +\alpha _{i}$, בסטיית תקן $\sigma$. בכתיב מקוצר: $Y_{ij}\sim N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2})$ כלומר לכל קבוצה תוחלת שונה.

אפשר גם לפרק את הביטוי כך שנגדיר גורם של רעש המתפלג נורמלית סביב האפס, בסטיית תקן של $\sigma$, ונוסיף אותו לתוחלת הקבוצה. בכתיב מקוצר נאמר $Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\varepsilon _{i,j}$, כאשר $\varepsilon _{i,j}\sim N(0,\sigma ^{2})$.

השערות המבחן

עבור השערת האפס, לא נניח הבדל בין תוחלות הקבוצות.

כלומר:

$H_{0}:\alpha _{1}=\ldots =\alpha _{k};$

ועבור השערת H1 אחרת מכך.

$H_{1}:otherwise$

התפלגות הממוצעים היא: ${\overline {Y}}_{i}\sim N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2}/n_{i})$

ומכאן שהתפלגות ממוצע כלל הדגימות:

${\overline {Y}}\sim N(\mu +\sum _{i=1}^{k}{n_{i}\cdot \alpha _{i}}/N,\sigma ^{2}/N)$.

חלוקת סכום הריבועים

נגדיר את סכומי הריבועים הבאים: עבור כל קבוצה i: $SS_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}(y_{i,j}-{\overline {Y}}_{i})^{2}$

ובהתאם נגדיר: $SSW=\sum _{i=1}^{k}SS_{i}$ (סכום הריבועים בתוך הקבוצות)

סכום הריבועים בין הקבוצות:$SSB=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot ({\overline {Y}}_{i}-{\overline {Y}})^{2}$ וסה"כ סכומי הריבועים: $SST=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}(Y_{i,j}-{\overline {Y}})^{2}$

מפיתוח מתמטי נגיע לקשר $SST=SSW+SSB$

מבחן F

תחת השערת האפס, ${\frac {MSB}{MSW}}={\frac {\left({\frac {SSB}{K-1}}\right)}{\left({\frac {SSW}{N-K}}\right)}}\sim F_{k-1,N-k}$ כאשר F זוהי התפלגות F.

מבחני POST HOC - השוואות אנליטיות

אם מבחן ניתוח השונות מצביע על כך שהאוכלוסיות שונות זו מזו, עולה השאלה בין אילו זוגות של אוכלוסיות יש הבדל מובהק. בשאלה זו עוסקים מבחן LSD של פישר , מבחן הטווח של טוקי ומבחנים נוספים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ניתוח שונות בוויקישיתוף

• ניתוח שונות, באתר MathWorld (באנגלית)

• ראשון מארבעה פרקים על ANOVA במסגרת הפודקאסט ״סטטיסטיקה מרפאת״

https://ebm.podbean.com/e/סטטיסטיקה-מרפאת-39-why-anova/

ערך זה הוא קצרמר בנושא סטטיסטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.