פונקציית דיגמא

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:

המחשה של פונקציית דיגמא $\psi (z)$.

גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי

$.\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על $(0,\infty )$, והיא שקולה אסימפטוטית ל-

$,\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}$

עבור ($|z|\rightarrow \infty$) בגזרה $|\arg z|<\pi -\varepsilon$ לכל $\varepsilon >0$.

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ-$\psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)$ או Ϝ.

קשר למספרים ההרמוניים

פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

$.\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

ניקח לוג של שני האגפים:

$,\ln(\Gamma (z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma (z))$

גזירה ביחס ל- $z$:

$\psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}$

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים n

$,H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$

מתקיים,

$,\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

כאשר $H_{0}=0$ ו-$\gamma$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

$.\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}$

ייצוגים אינטגרליים

אם החלק הממשי של $z$ הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:

$.\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt$

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני $\gamma$ נותן:

$.\psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt$

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר $H_{z}$, כך שניתן לכתוב:

$.\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}$

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

$.\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}$

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:

$.\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}$

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של $\psi$.

$.\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt$

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור $\psi$:

$.\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}$

מתוך ההגדרה של $\psi$ והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

$,\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt$

כאשר $\Re z>0$ .

ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית

הפונקציה $\psi (z)/\Gamma (z)$ היא פונקציה שלמה, והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

$.{\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}$

כאשר $x_{k}$ הוא האפס ה-$k$ של $\psi$ (ראה להלן) ו- $\gamma$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- $-{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}$ בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: $.{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)$

ייצוג כטור

מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots$

חישוב סכומים של פונקציות רציונליות

ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

$,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}$

כאשר $p(n)$ ו-$q(n)$ הם פולינומים של $n$.

פירוק לשברים חלקיים של $u_{n}$ בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של $q(n)$ הם שורשים פשוטים,

$.u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}$

כדי שהטור יתכנס,

$\lim _{n\to \infty }nu_{n}=0$,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

$,\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0$

ונקבל,

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)$$=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k})$

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

$,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k})$

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

טור טיילור

לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה $z=1$:

$,\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k}$

שמתכנס עבור $|z|<1$. כאשר, $\zeta (n)$ היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

טור ניוטון

טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:

$,\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}$

כאשר ${\binom {s}{k}}$ הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

$,\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1$

כאשר $m=2,3,4,...$.

נוסחת השיקוף

פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x$.

ראו גם

• פונקציית פוליגמא
• פיתוחי צ'בישב

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית דיגמא בוויקישיתוף

• Wimp, Jet (1961). "Polynomial approximations to integral transforms". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 258–259.
• "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5".
• פונקציית דיגמא, באתר MathWorld (באנגלית)