פונקציית השגיאה

פונקציית השגיאה (באנגלית: Error Function) היא פונקציה שאינה אלמנטרית המופיעה בהסתברות, סטטיסטיקה, משוואות דיפרנציאליות חלקיות והנדסת חומרים. פונקציית השגיאה מסומנת $\operatorname {erf} (x)$ ומוגדרת:

פונקציית השגיאה

טבלת ערכים

x	erf(x)	erfc(x)		x	erf(x)	erfc(x)
0.00	0.0000000	1.0000000		1.30	0.9340079	0.0659921
0.05	0.0563720	0.9436280		1.40	0.9522851	0.0477149
0.10	0.1124629	0.8875371		1.50	0.9661051	0.0338949
0.15	0.1679960	0.8320040		1.60	0.9763484	0.0236516
0.20	0.2227026	0.7772974		1.70	0.9837905	0.0162095
0.25	0.2763264	0.7236736		1.80	0.9890905	0.0109095
0.30	0.3286268	0.6713732		1.90	0.9927904	0.0072096
0.35	0.3793821	0.6206179		2.00	0.9953223	0.0046777
0.40	0.4283924	0.5716076		2.10	0.9970205	0.0029795
0.45	0.4754817	0.5245183		2.20	0.9981372	0.0018628
0.50	0.5204999	0.4795001		2.30	0.9988568	0.0011432
0.55	0.5633234	0.4366766		2.40	0.9993115	0.0006885
0.60	0.6038561	0.3961439		2.50	0.9995930	0.0004070
0.65	0.6420293	0.3579707		2.60	0.9997640	0.0002360
0.70	0.6778012	0.3221988		2.70	0.9998657	0.0001343
0.75	0.7111556	0.2888444		2.80	0.9999250	0.0000750
0.80	0.7421010	0.2578990		2.90	0.9999589	0.0000411
0.85	0.7706681	0.2293319		3.00	0.9999779	0.0000221
0.90	0.7969082	0.2030918		3.10	0.9999884	0.0000116
0.95	0.8208908	0.1791092		3.20	0.9999940	0.0000060
1.00	0.8427008	0.1572992		3.30	0.9999969	0.0000031
1.10	0.8802051	0.1197949		3.40	0.9999985	0.0000015
1.20	0.9103140	0.0896860		3.50	0.9999993	0.0000007

$$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$$

תכונות

פונקציית השגיאה היא פונקציה אי-זוגית השואפת ל-1 כאשר $x\to \infty$, ול-1- כאשר $x\to -\infty$ (תוצאה מוכרת של אינטגרל גאוסיאני).

פונקציית השגיאה איננה פונקציה אלמנטרית (תוצאה שהוכיח ז'וזף ליוביל), כלומר לא ניתן לבנות אותה על ידי פעולות האריתמטיקה הבסיסיות והרכבה של פולינומים, פונקציית האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות, והפונקציות ההופכיות להן.

טור טיילור של פונקציית השגיאה הוא:$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)$

הנגזרת של פונקציית השגיאה היא: ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\,\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}$

האינטגרל הלא מסוים שלה הוא: $x\,\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}$

פונקציית השגיאה המשלימה מסומנת erfc(האות C בעבור complementary) ומוגדרת:

$$\operatorname {erfc} (x)=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$$

פונקציית שגיאה מרוכבת (או פונקציית שגיאה מדומה), המסומנת כ־erfi, מוגדרת להיות:

${\begin{aligned}\operatorname {erfi} (x)&=-i\operatorname {erf} (ix)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}$

כאשר $\operatorname {D} (x)$ היא פונקציית דוסון (Dawson function, אשר יכולה להחליף את erfi כדי למנוע גלישה אריתמטית).

חרף שמה, "פונקציית השגיאה המרוכבת", $\operatorname {erfi} (x)$ מחזירה ערכים ממשיים כאשר x ממשי.

שימושים

פונקציית השגיאה מתארת את ההסתברות שמשתנה אקראי בעל התפלגות נורמלית יקבל ערך שמרחקו מהתוחלת קטן מערך פונקציית השגיאה:

$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{\mu -x}^{\mu +x}e^{\frac {-(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\,\mathrm {d} t$

ניתן לתאר את פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות נורמלית בעזרת פונקציית השגיאה:

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!$

פונקציית השגיאה מופיעה בפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כמו משוואת הדיפוזיה.

ראו גם

• התפלגות נורמלית
• אינטגרל גאוסיאני

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית השגיאה בוויקישיתוף

• MathWorld - Erf
• פונקציית השגיאה, באתר MathWorld (באנגלית)