פונקציית מדרגה

במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן $\ [0,\infty )$:

פונקציית מדרגה. פה הערך ב-0 מוגדר להיות 0.5

$$\theta (x)=H(x)=u(x)=1_{[0,\infty )}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&&x<0\\1&&x\geq 0\end{matrix}}\right.$$

(הערך ב-$\,x=0$ מוגדר לעיתים אחרת, למשל $H(0)={\frac {1}{2}}$).

תכונות הפונקציה:

• הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-$x=0$.
• הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-$x=0$.
• הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
• באופן לא פורמלי, "פונקציית הנגזרת" של $\ H$ היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה (Distribution) המקבלת בכל נקודה את הערך $0$, פרט לנקודה $\ x=0$ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש-$H(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,\mathrm {d} s$ פרט אולי ל-$x=0$.
• הפונקציה הקדומה של $H$ היא $\mathrm {Ramp} (x)=\int _{-\infty }^{x}H(t)\,\mathrm {d} t=x\cdot H(x)$, שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.

ראו גם

• פונקציית מדרגות
• פונקציית היחידה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית מדרגה בוויקישיתוף

• פונקציית מדרגה, באתר MathWorld (באנגלית)