פיניטיזם

בפילוסופיה של המתמטיקה, פיניטיזם הוא גישה שמקבלת את הקיום של עצמים מתמטיים סופיים בלבד. זאת בניגוד לזרם המרכזי בפילוסופיה של המתמטיקה, שבו מקובלים גם עצמים אינסופיים (למשל קבוצה אינסופית). אף שהפיניטיזם מקבל את קיומם של מספרים טבעיים, קבוצת המספרים הטבעיים אינה נחשבת לעצם מתמטי. לפיכך כימות על פני תחום אינסופי אינו נחשב לבעל משמעות. התאוריה המתמטית שמקושרת לעיתים קרובות עם פיניטיזם היא אריתמטיקה פרימיטיבית רקורסיבית של תוראלף סקולם.

היסטוריה

בשנת 1874 הציג גאורג קנטור את תורת הקבוצות הנאיבית, והשתמש בה כבסיס לעבודתו על מספרים טרנספיניטיים. כאשר התגלו פרדוקסים כמו הפרדוקס של ראסל, הפרדוקס של ברי והפרדוקס של בורלי-פורטי בתורתו של קנטור, הוויכוח סביב קיומן של קבוצות אינסופיות הפך ללוהט, וננקטו בו עמדות שונות על ידי מתמטיקאים. כולם הסכימו לגבי קיום עצמים מתמטיים סופיים כמו מספרים טבעיים. עם זאת היו חילוקי דעות לגבי עצמים מתמטיים אינסופיים. עמדה אחת הייתה המתמטיקה האינטואיציונית שבה דגל המתמטיקאי ההולנדי ל.א.י בראואר, שדחתה את קיומם של עצמים אינסופיים עד לבנייתם. מתנגד בולט נוסף לגישתו של קנטור היה לאופולד קרונקר.

עמדה אחרת קידם דויד הילברט: עצמים מתמטיים סופיים הם עצמים קונקרטיים, עצמים מתמטיים אינסופיים הם עצמים אידיאליים, וקבלת עצמים מתמטיים אידיאליים אינה גורמת לבעיה לגבי עצמים מתמטיים סופיים. באופן פורמלי יותר, הילברט האמין שאפשר להראות שכל משפט על עצמים מתמטיים סופיים שניתן להוכיח באמצעות עצמים אינסופיים אידיאליים, ניתן להוכיח גם בלעדיהם. לכן התרת עצמים מתמטיים אינסופיים לא תגרום לבעיה לגבי עצמים סופיים. זה הוביל לתוכניתו של הילברט להוכיח את העקביות והשלמות של תורת הקבוצות תוך שימוש באמצעים פיניטיסטיים, שכן הדבר מרמז שהוספת אובייקטים מתמטיים אידיאליים היא הרחבה שמרנית של החלק הפיניטיסטי. השקפותיו של הילברט קשורות גם לפילוסופיה הפורמליסטית של המתמטיקה. מטרתו של הילברט להוכיח את העקביות והשלמות של תורת הקבוצות או אפילו של האריתמטיקה בלבד באמצעים פיניטיסטיים התבררה כמשימה בלתי אפשרית בשל משפטי האי-שלמות של קורט גדל. עם זאת, ההשערה הגדולה (Friedman's grand conjecture) של הארווי פרידמן מרמזת שרוב התוצאות המתמטיות ניתנות להוכחה באמצעים פיניטיסטיים.

כתוצאה ממשפטי האי-שלמות של גדל, כשהתברר שאין תקווה להוכיח את העקביות והשלמות של המתמטיקה, ועם התפתחותן של תורות קבוצות אקסיומטיות עקביות לכאורה כמו תורת הקבוצות של צרמלו-פראנקל, רוב המתמטיקאים המודרניים אינם מתמקדים בנושא זה. כיום, רוב המתמטיקאים נחשבים פלטוניסטים ומשתמשים ללא קושי בעצמים מתמטיים אינסופיים.

פיניטיזם קלאסי מול פיניטיזם קפדני

בספרה The Philosophy of Set Theory, מארי טיילס (Mary Tiles) אפיינה את אלו המאפשרים עצמים אינסופיים בפוטנציה כפיניטיסטים קלאסיים, ואת אלו שאינם מאפשרים אובייקטים אינסופיים בפוטנציה כפיניטיסטים קפדניים (strict finitists). למשל, פיניטיסט קלאסי יאפשר אמירות כגון "לכל מספר טבעי יש עוקב" ויקבל כמשמעותיות סדרות אינסופיות במובן של גבולות של סכומים חלקיים סופיים, בעוד שפיניטיסט קפדני לא יעשה זאת. מבחינה היסטורית, ההיסטוריה הכתובה של המתמטיקה הייתה לפיכך פיניסטית קלאסית עד שקנטור יצר את ההיררכיה של קרדינלים טרנספיניטיים בסוף המאה ה-19.

לקריאה נוספת

• Feng Ye (2011). Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications. Springer. ISBN 978-94-007-1347-5.

קישורים חיצוניים

• ז'אן פול ון בנדגם, Finitism in Geometry, באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד (באנגלית)