פירוק ריט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

פירוק ריט של פונקציה פולינומית או רציונלית הוא הפירוק שלה כהרכבה של פונקציות אי-פריקות מאותו סוג, היינו בצורה $f=f_{1}\circ \cdots \circ f_{t}$, כאשר כל $f_{i}$ אי-פריקה. פירוק כזה תמיד קיים, והשאלה הטבעית היא באיזו מידה הוא יחיד.

משפט ריט השני (Ritt, 1922) קובע שאם $a,b,c,d\in {\mathbb {C} }[x]$ הם פולינומים המקיימים $a\circ b=c\circ d$, אז עד כדי הרכבה בפונקציות ליניאריות רציונליות, הפתרון הוא מהצורה $(x^{n}h(x)^{m})\circ x^{m}=x^{m}\circ (x^{n}h(x^{m}))$ או $\ T_{m}\circ T_{n}=T_{n}\circ T_{m}$ עבור זרים n,m, כאשר $\ T_{n}$ הם פולינומי צ'ביצ'ב.

עבור פונקציות רציונליות יש פתרונות נוספים, הנובעים מפעולת הכפל בקבוע בעקום אליפטי; כלומר, $[n]\circ [m]=[m]\circ [n]$ כאשר $[n]$ היא פעולת הכפל $[n]:P\mapsto n\cdot [P]$ בעקום נתון כלשהו. מיון שלם של הפתרונות בפונקציות רציונליות, אפילו כאשר המעלות גדולות מספיק, עדיין אינו ידוע.

מקורות

• A. Schinzel, ``Polynomials with Special Regard to Reducibility, Cambridge University Press, 2000.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.