פרבולואיד היפרבולי

בגאומטריה, פרבולואיד היפרבולי הוא משטח ישרים הדומה בצורתו לאוכף. אפשר לסרטט אותו במערכת צירים תלת־ממדית, על ידי המשוואה הבאה:

פרבולואיד היפרבולי

אצטדיון בעל גג בצורה של פרבולואיד היפרבולי

פרינגלס, דוגמה לפרבולואיד היפרבולי

${\frac {z}{c}}={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.$

כאשר $c>0$. משוואה זאת יוצרת פרבולה: כאשר $x=0$ - פרבולה כלפי מעלה, וכאשר $y=0$ - פרבולה כלפי מטה.

מאפיינים

ניתן להציג את הפרבולואיד ההיפרבולי גם בצורה הפרמטרית הבאה:

${\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)$

העקמומיות הגאוסיינית של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:

$K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}$

והעקמומיות הממוצעת של הפרבולואיד ההיפרבולי עם הפרמטרים הנ"ל היא:

$H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.$

אם נסתכל על הפרבולואיד ההיפרבולי מהצורה:

$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

אם נסובב אותו בכיוון החיובי של $z$ בזווית של ${\frac {\pi }{4}}$, אז על פי כלל יד ימין, נקבל את המשוואה:

$z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)$

ואם a=b, אז אפשר לפשט ולקבל את המשוואה:

$z={\frac {2xy}{a^{2}}}$.

שימושים

צורת האוכף דומה מאוד לצורת הפרבולואיד היפרבולי. קיימים מבנים רבים אשר גגותיהם הם בצורה של פרבולואיד היפרבולי, כגון תחנות רכבת, אצטדיונים וכדומה. צורתו של החטיף פרינגלס היא פרבולואיד היפרבולי.

ראו גם

• נקודת אוכף
• אוכף של קוף

קישורים חיצוניים

• טל סוקולוב, המתמטיקה המופלאה של הצ'יפס, במדור "מדע במבט-על" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 15 במאי 2022