קבוצה טרנזיטיבית

בתורת הקבוצות, קבוצה $A$ היא טרנזיטיבית (אנגלית: transitive) אם היא מכילה עם כל איבר את כל האיברים שלו. כלומר הקבוצה $A$ היא טרנזיטיבית:

אם לכל $\ x\in A$ ולכל $\ y\in x$

מתקיים $\ y\in A$.

סגור טרנזיטיבי של קבוצה $A$ הוא הקבוצה הטרנזיטיבית $B$ הקטנה ביותר (לפי סדר הכלה) המכילה את $A$. בהינתן קבוצה $X$, הסגור הטרנזיטיבי של $X$ הוא האיחוד של כל האיברים ב-$X$, וחוזר חלילה: $\,\cup \{X,\cup X,\cup \cup X,\cup \cup \cup X,\cup \cup \cup \cup X,...\}$. מכאן נובע שכל קבוצה מוכלת בקבוצה טרנזיטיבית.

קבוצה $X$ היא טרנזיטיבית אם ורק אם $\bigcup X\subseteq X$.

קבוצה $X$ אשר כל איבריה הם קבוצות בפני עצמם היא טרנזיטיבית אם ורק אם $\,X\subset {\mathcal {P}}(X)$.

ראו גם

• קבוצת החזקה
• איחוד (מתמטיקה)