שטח

Disambig RTL.svgערך זה עוסק בהגדרה המתמטית למושג "שטח". אם התכוונתם להגדרת המושג במדעי המדינה, ראו טריטוריה.
שטח של משולש שווה לגובה (מסומן בורוד) כפול הבסיס (אדום) חלקי 2.

שטח הוא גודל של תחום מישורי בהשוואה ליחידת מידה קבועה. באופן כללי יותר, אפשר לחשב שטח לכל יריעה; בפרט, שטח הפנים של גוף תלת-ממדי הוא שטח השפה, או הקליפה החיצונית, של הגוף.

שטח נמדד ביחידות מידה של אורך בריבוע.

השטח של צורות בסיסיות כמו משולש ועיגול ידוע באמצעות נוסחאות. צורות מורכבות יותר ניתן לפעמים לחלק לצורות בסיסיות בעלות שטח ידוע. שטח כללי ניתן לחשב באמצעות אינטגרל, או באמצעות קירובים (גם בעזרת מחשב) בשיטות שונות. ניתן למדוד שטח באמצעות פלנימטר.

שטח של צורות בסיסיות במישור

שטח של מספר צורות על רשת

בגאומטריה ישנן נוסחאות רבות הקשורות לחישובי שטחים:

או מחצית המכפלה של שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן: \ S = \frac{a \cdot b \cdot \sin(\measuredangle C)}{2} כאשר \ a, b, הן צלעות במשולש ו-\ \measuredangle C היא הזווית שביניהן
או על פי נוסחת הֵרון: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\, כאשר a, b, c\, מייצגות את אורך כל אחת מצלעות המשולש, ו-p\, היא מחצית היקף המשולש: p=\frac{a+b+c}{2}

יחידות מידה לשטח

יחידות מדידה מקובלות לשטחי קרקע

מטר רבוע (מ"ר או מ²), השטח של ריבוע שאורך צלעו מטר אחד, הוא יחידת מידה בסיסית לשטחי קרקע, השייכת למערכת היחידות הבינלאומית. שטחים קטנים מקובל למדוד ביחידות מידה מתאימות, כמו סנטימטר רבוע (סמ"ר; 10,000 סמ"ר הם מ"ר אחד).

שטחי קרקע גדולים מודדים ב"דונם", השווה ל-1000 מ"ר, או בהקטאר השווה לעשרה דונם. בארצות המערב מקובל למדוד שטחים חלקיים באקר, השווה לכ-4.047 דונם.

שימושים לשטח

שיטות לחישוב שטח של צורה כללית במישור

בנוסף לנוסחאות שהוצגו עבור צורות פשוטות, ניתן לחשב שטח של צורה כללית באמצעות נוסחאות וכלים, פשוטים לשימוש ידני ומהיר, או מורכבים הדורשים מחשב.

חלוקה לרשת

קירוב לשטח של צורה כללית ניתן למצוא באופן ידני אם מניחים את הצורה על רשת של קווים במרחק קבוע וידוע זה מזה. סופרים את המשבצות שנמצאות בתוך הצורה, ומחברים את מחצית מספר המשבצות אשר נחתכות בגבול של הצורה. את המספר המתקבל מכפילים בשטח של כל משבצת, כלומר במרחק בין הקווים בריבוע, ומקבלים קירוב לשטח הצורה. הקירוב יהיה טוב יותר ככל שגודל המשבצות קטן יותר.

כאשר הצורה היא מצולע שכל קודקודיו נמצאים על הרשת ניתן לחשב את השטח במדויק על פי משפט פיק.

מהלך אקראי באמצעות מחשב

חישוב שטח עיגול בשיטת מונטה-קרלו, באמצעות 2000 נקודות המוטלות באקראי.

שיטה דומה למשבצות היא תחימת הצורה בתוך ריבוע בגודל ידוע, והצבת נקודות אקראיות בריבוע, הנבחרות באמצעות מחשב (שיטת מונטה-קרלו). שטח הצורה בקירוב הוא מספר הנקודות בתוך הצורה חלקי מספר הנקודות הכולל כפול שטח הריבוע. דיוק השיטה גדל כמו שורש מספר הנקודות.

אינטגרל

האינטגרל של פונקציה שווה לשטח שבין הפונקציה לציר ה-x. אם ניתן לכתוב היקף של צורה סגורה באמצעות שתי פונקציות, אז שטח הצורה הוא הפרש האינטגרלים של הפונקציות.

אינטגרל קווי על השפה של צורה סגורה ניתן להפוך באמצעות משפט גרין לאינטגרל כפול של פונקציה קבועה, הנותן את שטח הצורה. במידה והצורה הסגורה הינה מלבנית, ניתן לחשב את השטח באמצעות משפט גרין הדיסקרטי.

פלנימטר

פלנימטר הוא מכשיר מכני המודד שטח של צורה כלשהי, כאשר מעבירים את זרוע המכשיר על פני ההיקף של הצורה. המכשיר פועל בהסתמך על משפט גרין ונוסחת הסקטור של לייבניץ, והומצא בשנת 1814.

ראו גם