גרדיאנט . הגרדיאנט מתקבל מהדיפרנציאל
d
f
=
∑
i
∂
f
∂
x
i
d
x
i
{\displaystyle df=\sum _{i}{{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}dx^{i}}}
הורדת אינדקסים , כלומר:
grad
f
=
∑
i
∑
j
g
i
j
∂
f
∂
x
j
∂
x
i
{\displaystyle {\mbox{grad}}f=\sum _{i}\sum _{j}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\partial _{x^{i}}}
כאשר
g
i
j
{\displaystyle g^{ij}}
טנזור המטרי ו-
∂
x
i
=
∂
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial _{x^{i}}=\partial /\partial _{x^{i}}}
∂
r
=
r
^
,
∂
θ
=
r
θ
^
,
∂
ϕ
=
r
sin
θ
ϕ
^
{\displaystyle \partial _{r}={\hat {r}}\ ,\ \partial _{\theta }=r{\hat {\theta }}\ ,\ \partial _{\phi }=r\sin \theta {\hat {\phi }}}
לנרמל כל וקטור). מאחר שבקואורדינטות כדוריות המטריקה היא
g
=
diag
(
1
,
r
2
,
r
2
sin
2
θ
)
{\displaystyle \ g={\mbox{diag}}(1,r^{2},r^{2}\sin ^{2}\theta )}
המטריקה ההופכית היא
g
−
1
=
diag
(
1
,
1
/
r
2
,
1
/
(
r
sin
θ
)
2
)
{\displaystyle g^{-1}={\mbox{diag}}(1,1/r^{2},1/(r\sin \theta )^{2})}
תציב את הכל בנוסחה ותקבל
grad
f
=
∂
f
∂
r
r
^
+
(
1
/
r
)
2
∂
f
∂
θ
r
θ
^
+
1
/
(
r
sin
θ
)
2
∂
f
∂
ϕ
r
sin
θ
ϕ
^
=
∂
f
∂
r
r
^
+
1
r
∂
f
∂
r
θ
^
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
ϕ
ϕ
^
{\displaystyle \ {\mbox{grad}}f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {r}}+(1/r)^{2}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}r{\hat {\theta }}+1/(r\sin \theta )^{2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}r\sin \theta {\hat {\phi }}={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {\phi }}}
מ.ש.ל. בברכה, M ath K night הגותי שיחה ) 19:25, 31 באוקטובר 2011 (IST) תגובה
