שיחה:הסדרה ההרמונית

האם מתכנס לכל מספר שלם חיובי

תיאורטית, השוויון $H_{n}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{k+1}\zeta \left(k+1\right)n^{k}}$ נכון, אבל אני לא יודע האם הוא מתכנס לכל מספר שלם חיובי. איך אפשר לבדוק זאת? --כרוז • שיחה 17:48, 20 בדצמבר 2007 (IST)

הטור האינסופי לא מתכנס לאף n כי איבריו לא שואפים לאפס. יאיר ח. 20:43, 29 בדצמבר 2007 (IST)

ניתן לעשות כך: לפרק את הטור $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{k+1}\zeta \left(k+1\right)n^{k}}$ לשני טורים $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{k+1}\left(\zeta \left(k+1\right)-1\right)n^{k}}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{k+1}n^{k}}$ (התוצאה של פונקצית זטא תמיד גדול מ-1). הטור $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{k+1}n^{k}}$ ידוע ששווה ל-${\frac {n}{1+n}}$, ולכן ניתן לכתוב את סכום שני הטורים כך: ${\frac {n}{1+n}}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{k+1}\left(\zeta \left(k+1\right)-1\right)n^{k}}$. עבור אילו ערכים של N הטור $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{k+1}\left(\zeta \left(k+1\right)-1\right)n^{k}}$ מתכנס? --כרוז • שיחה 15:50, 15 בינואר 2008 (IST)

שים לב שגודל האיבר הכללי בטורים שואף בערכו המוחלט לאינסוף (עבור n גדול מ-1) ובפרט לא תתכן התכנסות. לדוגמה, הטור הגיאומטרי שמימין לא מתכנס לשום דבר (במטריקה הרגילה של הממשיים) כיוון ש-n לא קטן מ-1 ולכן החזקות של n לא שואפות לאפס - תנאי הכרחי להתכנסות הטור. יאיר ח. 20:35, 15 בינואר 2008 (IST)

הכללה אפשרית

$H_{x}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{{\frac {\left(-1\right)^{k-1}}{k}}\left({\begin{matrix}x\\k\\\end{matrix}}\right)}$

כאשר:

$\left({\begin{matrix}x\\k\\\end{matrix}}\right)={\frac {x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots \left(x-k+1\right)}{k!}}$

-כרוז • שיחה 15:18, 20 בפברואר 2008 (IST)

שם הערך

זה בסדר שאצלנו שם הערך מיודע ובשום שפה אחרת לא? --אמיר א. אהרוני - שיחה 20:53, 11 במאי 2009 (IDT)