תיבה (גאומטריה)

בגאומטריה של המרחב, תיבה היא פאון תלת-ממדי בן שש פאות, שכולן מלבנים.

אף שצורת התיבה נדירה בטבע, היא נוחה מאוד לשימושים תעשייתיים, למשל משום שאפשר לרצף בה חללים מרחביים בקלות יחסית. לתיבות אריזה, ספרים, חדרים בבניין ובניינים, יש בדרך כלל צורת תיבה.

תיבה היא מקרה פרטי של מקבילון. תיבה שכל פאותיה הן ריבועים נקראת קובייה.

תכונות קומבינטוריות עריכה

לתיבה שמונה קודקודים, ובכל אחד מהם נפגשות שלוש צלעות בזווית ישרה מרחבית; יחד יש לתיבה 12 צלעות, מקצועות. פאותיה של התיבה מקבילות זו לזו בשלושה זוגות, העשויים להיות שונים זה מזה.

תיבה שבה אחת הפאות היא ריבוע נקראת תיבה ריבועית; בתיבה כזו יש לפחות זוג אחד של פאות ריבועיות, וארבע האחרות חופפות זו לזו. תיבה שבה כל הפאות הן ריבועים היא קובייה. תיבה שבה שתי פאות שאינן מקבילות הן ריבועיות, מוכרחה להיות קובייה (שבה כל הפאות ריבועיות).

חבורת הסימטריות המרחביות של תיבה שאינה ריבועית היא חבורת הארבעה של קליין הכוללת ארבע סימטריות: הפעולה הטריוויאלית ושלושת חצאי-הסיבובים סביב האנכים המרכזיים של הפאות (חבורה זו איזומורפית ל- $\ \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ). אם כוללים גם את השיקוף המרחבי (שאינו ניתן למימוש במרחב הרגיל), מתקבלת החבורה האבלית בת שמונה איברים ואקספוננט 2 (דהיינו $\ (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{3}$ ).

חבורת הסימטריות המרחביות של תיבה ריבועית שאינה קובייה היא החבורה הדיהדרלית מסדר 8; אם מתירים שיקוף מרחבי מתקבלת חבורה מסדר 16, שהיא מכפלה ישרה של החבורה הקודמת, עם החבורה בת שני האיברים הנוצרת מן השיקוף.

תכונות גאומטריות עריכה

תיבה אפשר לאפיין בשלושה מספרים, a,b,c, המסמנים את אורכי הצלעות השונות (ארבע צלעות באורך a, ארבע באורך b וארבע באורך c). הפאות בגודל $\ a\times b,b\times c,c\times a$ , ולכן שטח הפנים של התיבה הוא $\ 2(ab+bc+ca)$ , ונפחה $\ abc$ . מבין הגופים בעלי הנפח במרחב התלת-ממדי, התיבה היא היסודית ביותר, ולכן משמש כיסוי בתיבות כהגדרה למידת הנפח המקובלת במרחב האוקלידי התלת-ממדי, מידת לבג.

הכללות בממדים אחרים עריכה

בשפת הדיבור, "תיבה" היא עצם תלת-ממדי. מבחינה מתמטית, אפשר לבנות בנקל תיבות בכל ממד. התיבה החד-ממדית אינה אלא קטע ישר; התיבה הדו-ממדית היא מלבן, והתיבה ה-n-ממדית היא מכפלה קרטזית של n קטעים:

\mathrm {Box} =\prod _{i=1}^{n}[p_{i},q_{i}]\subset \mathbb {R} ^{n}

לתיבה כזו יש $\ 2^{n}$ קודקודים, $\ n\cdot 2^{n-1}$ צלעות, $\ {\frac {n(n-1)}{2}}\cdot 2^{n-2}$ פאות דו-ממדיות, ו- $\ {\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}$ פאות k-ממדיות, ובפרט $\ 2n$ פאות $(n-1)$ -ממדיות, שכל אחת מהן תיבה מהממד המתאים.