איבר הופכי

באלגברה, איבר הופכי לאיבר נתון הוא איבר שהכפלתו באיבר הנתון נותנת את איבר היחידה. לדוגמה, שליש הוא ההפכי של המספר 3 ביחס לכפל. זוהי הכללה של המושג "מספר הופכי".

המושג "איבר הופכי" מוגדר לכל פעולה בינארית. איבר הופכי ביחס לפעולת החיבור נקרא איבר נגדי.

הגדרה פורמליתעריכה

תהי   קבוצה שמוגדרת עליה פעולה בינארית שנסמנה  . אם   הוא איבר היחידה של   ומתקיים  , אז   הוא הופכי משמאל של  , ו-  הוא הופכי מימין של  . במקרה זה a הפיך מימין ו-b הפיך משמאל.

אם האיבר   הופכי מימין והופכי משמאל של איבר  , אז   קרוי הופכי דו-צדדי או בפשטות הופכי של  . איבר שיש לו הופכי דו-צדדי ב-  קרוי איבר הפיך ב- .

ביחס לפעולה אסוציאטיבית, אם איבר הוא הפיך מימין ומשמאל אז הוא הפיך, ויש לו הפכי יחיד. הקבוצה של האיברים ההפיכים היא חבורה, המסומנת   או  . מערכת עם פעולה בינארית (לאו דווקא אסוציאטיבית) שיש בה איבר יחידה וכל איבר בה הפיך מימין ומשמאל נקראת לולאה.

דוגמאותעריכה

הופכי שמאלי וימני בחוגיםעריכה

בחוג R שאינו קומוטטיבי, ייתכן שאיבר a יהיה הפיך משמאל אך לא מימין. אם a הפיך משמאל אז a הפיך מימין אם ורק אם a אינו מחלק אפס מימין. חוג R שבו מתקיים ab=1 אם ורק אם ba=1 נקרא חוג סופי-דדקינד. חוג שאינו סופי-דדקינד מכיל חוגי מטריצות מכל ממד בתור תת-חוגים (בלי יחידה).