איבר נילפוטנטי

באלגברה מופשטת, איבר של חוג הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם עבור גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות (ולעיתים גם אינדקס הנילפוטנטיות) של .

חוג (בלי יחידה) שכל אבריו נילפוטנטיים נקרא חוג נילפוטנטי. כל אלגברה נילפוטנטית מממד סופי ניתנת לשיכון באלגברת המטריצות המשולשיות מעל השדה.

דוגמאותעריכה

  • בחוג   של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי  .
  • המטריצה הריבועית   היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים  .
  • בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם   נילפוטנטי, אז גם   כזה, משום ש-  . לדוגמה, אם   ו-  , כאשר   הן מטריצות בסיסיות (זו המטריצה בה בכניסה ה-  יש   וביתר הכניסות יש  ), אז   ו-   נילפוטנטי מדרגה 2.

אם   נילפוטנטי מדרגה  , אז   איבר הפיך, ומתקיים  . באופן דומה גם   הפיך.

בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך: אם   הפיך ו-  נילפוטנטי, אז  , ומכיוון ש-  נילפוטנטי נקבל שגם   נילפוטנטי ומהאמור לעיל   הפיך, ואז   הפיך כמכפלת הפיכים.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי   הוא מרחב טופולוגי אי פריק אם ורק אם אוסף כל האיברים הנילפוטנטים בחוג הוא אידיאל ראשוני.

ראו גםעריכה