אינדוקציה נתרית

באלגברה קומוטטיבית, אינדוקציה נתרית (Noetherian induction) היא שיטת הוכחת טענות על אלגברות נתריות, שדומה במובן מסוים לאינדוקציה הרגילה.

הגדרה והסברעריכה

תהי   אלגברה נתרית. כדי להוכיח עליה טענה מסוימת, ניתן להיעזר באינדוקציה נתרית - ניתן להניח שהטענה לא נכונה עבור אלגברה כלשהי, אבל נכונה לכל אלגברת מנה   עבור כל אידיאל  , ואז להמשיך באינדוקציה.

הסבר - יהי   אוסף כל האידיאלים   של   כך ש-  דוגמה נגדית לטענה. האוסף אינו ריק, משום שאידיאל האפס שם.   נתרי, ולכן ל-  יש מקסימום, נאמר  . בכך למעשה הוכחה הטענה, משום שמתקבלת אלגברה   שאינה מקיימת את הטענה, ולכל אידיאל אמיתי שלה   המנה מקיימת את הטענה, משום ש- , ו- .

דוגמהעריכה

טענה: אם   נתרי, קיימים אידיאלים ראשוניים   כך ש- .

הוכחה: באינדוקציה נתרית, נניח כי   דוגמה נגדית, אבל   איננו דוגמה נגדית לכל  . כעת,   דוגמה נגדית, ולכן איננו תחום שלמות (אחרת ניקח  ). לכן, יש אידיאלים   עבורם  . לפי ההנחה,   מקיימות את הטענה, ולכן קיימים   כך ש- . נקבל  , ולכן   כלומר  , וסיימנו באינדוקציה נתרית.

יחס בנוי-היטבעריכה

כהכללה למושג לעיל, נציג בנייה כללית יותר מ אומרים על יחס   על קבוצה   שהוא בנוי-היטב (Well-founded relation) אם לכל תת-קבוצה לא ריקה של איברים יש איבר מינימלי. היחס נקרא בנוי היטב הפוך אם   בנוי-היטב.

בהקשר של יחסים בנויים-היטב, ניתן לדבר על סוג נוסף של אינדוקציה, המהווה מעין גרסה של אינדוקציה טרנספיניטית:

אם   יחס בנוי-היטב, אז כדי להוכיח טענה על כל איבר   מספיק להוכיח אותה על כל  .

אלגברה היא נתרית אם יחס ההכלה על אידיאלים הוא בנוי-היטב הפוך (והיא ארטינית אם היחס הוא בנוי-היטב רגיל).

ראו גםעריכה