אינוולוציה (מתמטיקה)

מושג במתמטיקה

במתמטיקה, אינוולוציה היא פונקציה שהיא ההופכית של עצמה. כלומר, פונקציה חד חד ערכית בין שתי קבוצות , המקיימת את התכונה לכל .

הפעלת אינוולוציה פעמיים מחזירה את האיבר המקורי

דוגמה יסודית לאינוולוציה היא הפעולה של לקיחת משלים של קבוצה, או הפעולה של שלילת פסוק לוגי. בתחומים מסוימים במתמטיקה ל"אינוולוציה" יש משמעות מסוימת בהקשר בה היא מוגדרת. כך למשל בתורת החבורות, כל איבר מסדר 2 הוא אינוולוציה (למעשה איבר הוא אינוולוציה אם ורק אם ההומומורפיזם הוא אינוולוציה כפונקציה).

תכונותעריכה

מן ההגדרה נובע שאינוולוציות הן תמיד פעולות אונריות חד-חד-ערכיות. כלומר הן תמורות על תמונתן. תמורה היא אינוולוציה אם ורק אם בפירוק שלה למחזורים זרים מופיעים רק חילופים ונקודות שבת.

מספר האינוולוציות שמוגדרות על קבוצה סופית של n איברים נקרא מספר־טלפון ה-n-י (סדרה A000085, באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים). מספרים אלו מקיימים את נוסחת הנסיגה:

 
 

הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות שהקבוצה היא  . יש   אינוולוציות שבהן n נקודת שבת (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על  ). יש   אינוולוציות שבהן n עובר ל-  (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על  ). יש   ערכים אפשריים ל- . ▯

המספרי־טלפון הראשונים הם: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496.

דוגמאותעריכה

קישורים חיצונייםעריכה