אינטגרל אליפטי הוא פונקציה מהצורה:
f
(
x
)
=
∫
c
x
R
(
t
,
P
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\mathrm {d} t}
כאשר
c
{\displaystyle c}
R
{\displaystyle R}
פונקציה רציונלית של שני משתנים ו-
P
{\displaystyle P}
פולינום ממעלה 3 או 4.
אינטגרל אליפטי אינו פונקציה אלמנטרית . פונקציות מסוג זה נקראות אינטגרל אליפטי כי הן הופיעו לראשונה בניסיונות לחשב היקף של אליפסה .
אינטגרלים אליפטיים נחקרו לראשונה על ידי ג'וליו פניאנו (Giulio Fagnano ) ולאונרד אוילר בסביבות 1750 .
באופן כללי, אינטגרלים בעלי הצורה הזאת אינם ניתנים לביטוי כצירופים של פונקציות אלמנטריות, אך חריגות מן הכלל הזה קורות כאשר ל-
P
{\displaystyle P}
שורשים מרובים , או כאשר
R
(
x
,
y
)
{\displaystyle R(x,y)}
y
{\displaystyle y}
לז'נדר (אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון, השני והשלישי).
אינטגרלים אליפטיים לא שלמים הם פונקציות של שני משתנים; לעומת זאת, אינטגרלים אליפטיים שלמים הם פונקציות של משתנה יחיד. המשתנים הללו ניתנים לביטוי במגוון של דרכים שונות אך שקולות (הן מתארות את אותו האינטגרל). רוב הטקסטים נצמדים למינוח הבא:
α
{\displaystyle \alpha }
הזווית המודולרית .
k
=
sin
α
{\displaystyle k=\sin \alpha }
המודולוס האליפטי או האקסצנטריות .
m
=
k
2
=
sin
2
α
{\displaystyle m=k^{2}=\sin ^{2}\alpha }
הפרמטר .כל אחד משלושת הגדלים שהוזכרו לעיל נקבע בהינתן כל אחד מהשניים האחרים.
את המשתנה השני מסמנים לעיתים קרובות באות
φ
{\displaystyle \varphi }
אמפליטודה של האינטגרל האליפטי.
מיון אינטגרלים אליפטיים
עריכה
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג הראשון
F
{\displaystyle F}
F
(
φ
,
k
)
=
F
(
φ
|
k
2
)
=
F
(
sin
φ
;
k
)
=
∫
0
φ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
זוהי הצורה הטריגונומטרית של האינטגרל; אם מציבים
t
=
sin
θ
{\displaystyle t=\sin \theta }
x
=
sin
φ
{\displaystyle x=\sin \varphi }
F
(
x
;
k
)
=
∫
0
x
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
{\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השני
E
{\displaystyle E}
E
(
φ
,
k
)
=
E
(
φ
|
k
2
)
=
E
(
sin
φ
;
k
)
=
∫
0
φ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }
כשמציבים
t
=
sin
θ
{\displaystyle t=\sin \theta }
x
=
sin
φ
{\displaystyle x=\sin \varphi }
E
(
x
;
k
)
=
∫
0
x
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השלישי
Π
{\displaystyle \Pi }
Π
(
n
;
φ
∖
α
)
=
∫
0
φ
1
1
−
n
sin
2
θ
d
θ
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}
או:
Π
(
n
;
φ
|
m
)
=
∫
0
sin
φ
1
1
−
n
t
2
d
t
(
1
−
m
t
2
)
(
1
−
t
2
)
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}}
כאשר המספר
n
{\displaystyle n}
המאפיין ויכול לקבל כל ערך, ללא תלות במשתנים האחרים.
אינטגרלים אליפטיים שלמים
עריכה
גרף של ערך האינטגרל האליפטי השלם
K
(
k
)
{\displaystyle K(k)}
k
{\displaystyle k}
כל אחד מהאינטגרלים האליפטיים שהוזכרו מקודם נקראים שלמים כאשר האמפליטודה מקיימת
φ
=
π
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
K
{\displaystyle K}
K
(
k
)
=
∫
0
π
2
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
∫
0
1
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}
קישורים חיצוניים
עריכה
