אי-שוויון המשולש

Triangle inequality.svg

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה , כאשר היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשייםעריכה

בין המספרים הממשיים מודדים מרחק באמצעות הערך המוחלט, ולכן אי-שוויון המשולש הוא  . כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית  . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי-השוויונים   ו-  , או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא:  

הוכחה פורמליתעריכה

נוכיח ש- . אם   חיוביים אז  . אם שניהם שליליים,  . המקרה היחיד שבו יש מה להוכיח הוא כאשר אחד המשתנים חיובי ואחד שלילי. מכיוון ששני האגפים סימטריים, אפשר להניח ש- , ואז  .

המקרה המרוכבעריכה

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה  , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטיםעריכה

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה   בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.

הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא  .

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה