אלגברה ציקלית

באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.

הגדרהעריכה

לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.

הגדרה ישירהעריכה

תהי   הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה   מסדר  , ויהי  . נגדיר  מרחב וקטורי עם בסיס  ), עם פעולת הכפל:

 

בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת  . (להוכחת טענות אלו ראו [Row]).

הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימליעריכה

תהי   אלגברה פשוטה מרכזית מעל  . נאמר ש-  אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי)   המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

הגדרה באמצעות יוצרים ויחסיםעריכה

אלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים:  .

שקילות ההגדרותעריכה

ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:

משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית   היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

סקירת ההוכחה: בכיוון  , תהי   חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש   כך ש- , ולכן גם  . לכן  , כלומר   שייך למרכז שהוא  , כלומר  , ומתקיים  .

שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:

משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית   היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה   (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).

סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם   של K הוא הצמדה באיבר כלשהו  :  . נגדיר  , ונוכיח כי  : משום ש- , כלומר  ; הפעלת ההצמדה על   מראה כי  , ולכן  . כעת, קל לבדוק כי   בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.

דוגמאותעריכה

  • יהי   שדה, ויהי   הפיך בשדה. עוד נניח כי   מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר  , נסמנו  . נגדיר  . מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר  .
לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה  . כל האלגברות הציקליות עבור   הן בדיוק  , עבור כל שורש יחידה  -פרימיטיבי  .
  • יהי   שדה ממאפיין ראשוני  , ויהי  . עבור  , נביט ב- . קל לראות שכל שורש של הפולינום   מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה   עבור אלפא עם שורש מינימלי  .
מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור   הן מהצורה  .

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

  • [Row]; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464
  • [GS]; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]