אלגברה ציקלית
באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.
הגדרה
עריכהלאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.
הגדרה ישירה
עריכהתהי הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה מסדר , ויהי . נגדיר (כמרחב וקטורי עם בסיס ), עם פעולת הכפל:
בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת . (להוכחת טענות אלו ראו [Row]).
הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימלי
עריכהתהי אלגברה פשוטה מרכזית מעל . נאמר ש- אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית.
הגדרה באמצעות יוצרים ויחסים
עריכהאלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: .
שקילות ההגדרות
עריכהההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:
משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.
סקירת ההוכחה: בכיוון , תהי חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש כך ש- , ולכן גם . לכן , כלומר שייך למרכז שהוא , כלומר , ומתקיים .
שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:
משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).
סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם של K הוא הצמדה באיבר כלשהו : . נגדיר , ונוכיח כי : משום ש- , כלומר ; הפעלת ההצמדה על מראה כי , ולכן . כעת, קל לבדוק כי בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.
דוגמאות
עריכה- יהי שדה, ויהי הפיך בשדה. עוד נניח כי מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר , נסמנו . נגדיר . מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר .
- לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה . כל האלגברות הציקליות עבור הן בדיוק , עבור כל שורש יחידה -פרימיטיבי .
- יהי שדה ממאפיין ראשוני , ויהי . עבור , נביט ב- . קל לראות שכל שורש של הפולינום מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה עבור אלפא עם שורש מינימלי .
- מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור הן מהצורה .
ראו גם
עריכהלקריאה נוספת
עריכה- [Row]; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464
- [GS]; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]