אלגברת לי נילפוטנטית

באלגברה מופשטת, אלגברת לי היא נילפוטנטית אם הסדרה המרכזית היורדת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים. לאלגברות לי נילפוטנטיות מקום חשוב בתורת המבנה של אלגברות לי, ובפרט במיון של אלגברות לי פשוטות למחצה.

הגדרה

תהי $L$ אלגברת לי מעל שדה $F$. הסדרה המרכזית היורדת של $L$ היא הסדרה המוגדרת על ידי ${L}^{1}=L,{L}^{n}=[L,{L}^{n-1}]$. כלומר, הסדרה היא $L,[L,L],[L,[L,L]],...$.

$L$ היא נילפוטנטית אם הסדרה המרכזית היורדת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים, כלומר קיים $n$ כך ש-${L}^{n}=0$.

תכונות

• כל אלגברת לי אבלית היא נילפוטנטית.

• כל אלגברת לי נילפוטנטית היא גם פתירה, וההפך לא נכון.

• כל תמונה אפימורפית ואלגברת מנה של אלגברת לי נילפוטנטית הם נילפוטנטיים.

• המרכז של אלגברת לי נילפוטנטית לא ריק.

• אם $L/\operatorname {Z} (L)$ נילפוטנטית אז גם $L$.

• תנאי שקול לנילפוטנטיות הוא $\forall {x}_{i},y\in L:\operatorname {ad} {x}_{1}\operatorname {ad} {x}_{2}...\operatorname {ad} {x}_{n}(y)=0$ עבור $n$ ספציפי.

• לפי משפט אנגל, אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי העתקת הצמוד שלה נילפוטנטיים.

ראו גם

• אלגברת לי פתירה
• ההצגה הצמודה
• משפט אנגל

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, p. 11-12